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71. Ley de Torricelli

Un tanque contiene 50 galones de agua, que se descarga por una fuga en el fondo, haciendo que el tanque se vacíe en 20 minutos. El tanque se descarga con más rapidez cuando está casi lleno porque es mayor la presión sobre la fuga. La Ley de Torricelli da el volumen de agua restante en el tanque después de \( t \) minutos como

[tex]\[ V(t) = 50 \left(1 - \frac{t}{20}\right)^2 \quad 0 \leq t \leq 20 \][/tex]

a) Encuentre \( V(0) \) y \( V(20) \).

b) ¿Qué representan sus respuestas a la parte (a)?

c) Haga una tabla de valores de [tex]\( V(t) \)[/tex] para [tex]\( t = 0, 5, 10, 15, 20 \)[/tex].

Sagot :

Claro, vamos a resolver esta pregunta paso a paso.

### Parte (a): Encuentre \( V(0) \) y \( V(20) \).

Para encontrar \( V(0) \) y \( V(20) \), debemos evaluar la función \( V(t) = 50 \left(1 - \frac{t}{20} \right)^2 \) en estos valores específicos de \( t \).

- Cuando \( t = 0 \):

[tex]\[ V(0) = 50 \left(1 - \frac{0}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 0 \right)^2 = 50 \cdot 1 = 50 \, \text{galones} \][/tex]

- Cuando \( t = 20 \):

[tex]\[ V(20) = 50 \left(1 - \frac{20}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 1 \right)^2 = 50 \cdot 0 = 0 \, \text{galones} \][/tex]

Por lo tanto, hemos encontrado que:

[tex]\[ V(0) = 50 \, \text{galones} \][/tex]
[tex]\[ V(20) = 0 \, \text{galones} \][/tex]

### Parte (b): ¿Qué representan sus respuestas a la parte (a)?

Las respuestas a la parte (a) representan los volúmenes de agua restantes en el tanque en dos momentos específicos:

- \( V(0) = 50 \, \text{galones} \) representa el volumen de agua en el tanque al inicio, cuando el tiempo \( t = 0 \) minutos. Como el tanque está lleno en este momento, contiene su capacidad máxima de 50 galones de agua.

- \( V(20) = 0 \, \text{galones} \) representa el volumen de agua en el tanque después de 20 minutos. Esto indica que para cuando \( t = 20 \) minutos, el tanque se ha vaciado por completo.

### Parte (c): Haga una tabla de valores de \( V(t) \) para \( t = 0, 5, 10, 15, 20 \).

Para crear una tabla de valores de \( V(t) \) en los tiempos dados \( t = 0, 5, 10, 15, 20 \):

- Cuando \( t = 0 \):

[tex]\[ V(0) = 50 \left(1 - \frac{0}{20} \right)^2 = 50 \, \text{galones} \][/tex]

- Cuando \( t = 5 \):

[tex]\[ V(5) = 50 \left(1 - \frac{5}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 0.25 \right)^2 = 50 \left(0.75 \right)^2 = 50 \cdot 0.5625 = 28.125 \, \text{galones} \][/tex]

- Cuando \( t = 10 \):

[tex]\[ V(10) = 50 \left(1 - \frac{10}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 0.5 \right)^2 = 50 \left(0.5 \right)^2 = 50 \cdot 0.25 = 12.5 \, \text{galones} \][/tex]

- Cuando \( t = 15 \):

[tex]\[ V(15) = 50 \left(1 - \frac{15}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 0.75 \right)^2 = 50 \left(0.25 \right)^2 = 50 \cdot 0.0625 = 3.125 \, \text{galones} \][/tex]

- Cuando \( t = 20 \):

[tex]\[ V(20) = 50 \left(1 - \frac{20}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 1 \right)^2 = 50 \cdot 0 = 0 \, \text{galones} \][/tex]

Por lo tanto, la tabla de valores de \( V(t) \) para \( t = 0, 5, 10, 15, 20 \) es:

| \( t \) (minutos) | \( V(t) \) (galones) |
|:-----------------:|:-------------------:|
| 0 | 50.0 |
| 5 | 28.125 |
| 10 | 12.5 |
| 15 | 3.125 |
| 20 | 0.0 |

Así, hemos calculado y tabulado los valores de [tex]\( V(t) \)[/tex] para los tiempos especificados.