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Sagot :
Claro, vamos a resolver esta pregunta paso a paso.
### Parte (a): Encuentre \( V(0) \) y \( V(20) \).
Para encontrar \( V(0) \) y \( V(20) \), debemos evaluar la función \( V(t) = 50 \left(1 - \frac{t}{20} \right)^2 \) en estos valores específicos de \( t \).
- Cuando \( t = 0 \):
[tex]\[ V(0) = 50 \left(1 - \frac{0}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 0 \right)^2 = 50 \cdot 1 = 50 \, \text{galones} \][/tex]
- Cuando \( t = 20 \):
[tex]\[ V(20) = 50 \left(1 - \frac{20}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 1 \right)^2 = 50 \cdot 0 = 0 \, \text{galones} \][/tex]
Por lo tanto, hemos encontrado que:
[tex]\[ V(0) = 50 \, \text{galones} \][/tex]
[tex]\[ V(20) = 0 \, \text{galones} \][/tex]
### Parte (b): ¿Qué representan sus respuestas a la parte (a)?
Las respuestas a la parte (a) representan los volúmenes de agua restantes en el tanque en dos momentos específicos:
- \( V(0) = 50 \, \text{galones} \) representa el volumen de agua en el tanque al inicio, cuando el tiempo \( t = 0 \) minutos. Como el tanque está lleno en este momento, contiene su capacidad máxima de 50 galones de agua.
- \( V(20) = 0 \, \text{galones} \) representa el volumen de agua en el tanque después de 20 minutos. Esto indica que para cuando \( t = 20 \) minutos, el tanque se ha vaciado por completo.
### Parte (c): Haga una tabla de valores de \( V(t) \) para \( t = 0, 5, 10, 15, 20 \).
Para crear una tabla de valores de \( V(t) \) en los tiempos dados \( t = 0, 5, 10, 15, 20 \):
- Cuando \( t = 0 \):
[tex]\[ V(0) = 50 \left(1 - \frac{0}{20} \right)^2 = 50 \, \text{galones} \][/tex]
- Cuando \( t = 5 \):
[tex]\[ V(5) = 50 \left(1 - \frac{5}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 0.25 \right)^2 = 50 \left(0.75 \right)^2 = 50 \cdot 0.5625 = 28.125 \, \text{galones} \][/tex]
- Cuando \( t = 10 \):
[tex]\[ V(10) = 50 \left(1 - \frac{10}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 0.5 \right)^2 = 50 \left(0.5 \right)^2 = 50 \cdot 0.25 = 12.5 \, \text{galones} \][/tex]
- Cuando \( t = 15 \):
[tex]\[ V(15) = 50 \left(1 - \frac{15}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 0.75 \right)^2 = 50 \left(0.25 \right)^2 = 50 \cdot 0.0625 = 3.125 \, \text{galones} \][/tex]
- Cuando \( t = 20 \):
[tex]\[ V(20) = 50 \left(1 - \frac{20}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 1 \right)^2 = 50 \cdot 0 = 0 \, \text{galones} \][/tex]
Por lo tanto, la tabla de valores de \( V(t) \) para \( t = 0, 5, 10, 15, 20 \) es:
| \( t \) (minutos) | \( V(t) \) (galones) |
|:-----------------:|:-------------------:|
| 0 | 50.0 |
| 5 | 28.125 |
| 10 | 12.5 |
| 15 | 3.125 |
| 20 | 0.0 |
Así, hemos calculado y tabulado los valores de [tex]\( V(t) \)[/tex] para los tiempos especificados.
### Parte (a): Encuentre \( V(0) \) y \( V(20) \).
Para encontrar \( V(0) \) y \( V(20) \), debemos evaluar la función \( V(t) = 50 \left(1 - \frac{t}{20} \right)^2 \) en estos valores específicos de \( t \).
- Cuando \( t = 0 \):
[tex]\[ V(0) = 50 \left(1 - \frac{0}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 0 \right)^2 = 50 \cdot 1 = 50 \, \text{galones} \][/tex]
- Cuando \( t = 20 \):
[tex]\[ V(20) = 50 \left(1 - \frac{20}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 1 \right)^2 = 50 \cdot 0 = 0 \, \text{galones} \][/tex]
Por lo tanto, hemos encontrado que:
[tex]\[ V(0) = 50 \, \text{galones} \][/tex]
[tex]\[ V(20) = 0 \, \text{galones} \][/tex]
### Parte (b): ¿Qué representan sus respuestas a la parte (a)?
Las respuestas a la parte (a) representan los volúmenes de agua restantes en el tanque en dos momentos específicos:
- \( V(0) = 50 \, \text{galones} \) representa el volumen de agua en el tanque al inicio, cuando el tiempo \( t = 0 \) minutos. Como el tanque está lleno en este momento, contiene su capacidad máxima de 50 galones de agua.
- \( V(20) = 0 \, \text{galones} \) representa el volumen de agua en el tanque después de 20 minutos. Esto indica que para cuando \( t = 20 \) minutos, el tanque se ha vaciado por completo.
### Parte (c): Haga una tabla de valores de \( V(t) \) para \( t = 0, 5, 10, 15, 20 \).
Para crear una tabla de valores de \( V(t) \) en los tiempos dados \( t = 0, 5, 10, 15, 20 \):
- Cuando \( t = 0 \):
[tex]\[ V(0) = 50 \left(1 - \frac{0}{20} \right)^2 = 50 \, \text{galones} \][/tex]
- Cuando \( t = 5 \):
[tex]\[ V(5) = 50 \left(1 - \frac{5}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 0.25 \right)^2 = 50 \left(0.75 \right)^2 = 50 \cdot 0.5625 = 28.125 \, \text{galones} \][/tex]
- Cuando \( t = 10 \):
[tex]\[ V(10) = 50 \left(1 - \frac{10}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 0.5 \right)^2 = 50 \left(0.5 \right)^2 = 50 \cdot 0.25 = 12.5 \, \text{galones} \][/tex]
- Cuando \( t = 15 \):
[tex]\[ V(15) = 50 \left(1 - \frac{15}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 0.75 \right)^2 = 50 \left(0.25 \right)^2 = 50 \cdot 0.0625 = 3.125 \, \text{galones} \][/tex]
- Cuando \( t = 20 \):
[tex]\[ V(20) = 50 \left(1 - \frac{20}{20} \right)^2 = 50 \left(1 - 1 \right)^2 = 50 \cdot 0 = 0 \, \text{galones} \][/tex]
Por lo tanto, la tabla de valores de \( V(t) \) para \( t = 0, 5, 10, 15, 20 \) es:
| \( t \) (minutos) | \( V(t) \) (galones) |
|:-----------------:|:-------------------:|
| 0 | 50.0 |
| 5 | 28.125 |
| 10 | 12.5 |
| 15 | 3.125 |
| 20 | 0.0 |
Así, hemos calculado y tabulado los valores de [tex]\( V(t) \)[/tex] para los tiempos especificados.
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