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Sagot :
¡Claro! Vamos a resolver cada desigualdad una por una, explicando los pasos y el pensamiento detrás de cada paso.
### 1. Resolver la desigualdad \(\frac{5 x}{x-4} \leq 0\)
Para resolver \(\frac{5 x}{x-4} \leq 0\):
1. Identificamos los valores críticos de la fracción, los cuales ocurren cuando el numerador es igual a cero y cuando el denominador es igual a cero:
- El numerador \(5x = 0\) implica que \(x = 0\).
- El denominador \(x - 4 = 0\) implica que \(x = 4\).
2. Dividimos la recta real en intervalos usando estos puntos críticos:
- Intervalo: \( (-\infty, 0) \)
- Intervalo: \( (0, 4) \)
- Intervalo: \( (4, \infty) \)
3. Probamos los signos de la fracción dentro de cada intervalo:
- En \( (-\infty, 0) \), \( \frac{5x}{x-4} \) es negativa.
- En \( (0, 4) \), \( \frac{5x}{x-4} \) es negativa.
- En \( (4, \infty) \), \( \frac{5x}{x-4} \) es positiva.
4. Determinamos donde la fracción es menor o igual a cero:
- \( \frac{5x}{x-4} \leq 0 \) en \(-\infty < x \leq 0\) y \( 0 < x < 4 \). Notamos que \( \frac{5x}{x-4} = 0 \) solo cuando \( x = 0 \).
Conclusión: \( 0 \leq x < 4 \).
### 2. Resolver la desigualdad \(\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \leq \frac{10x}{7}\)
Para resolver \(\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \leq \frac{10x}{7}\):
1. Simplificamos la desigualdad:
[tex]\[ \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \leq \frac{10x}{7} \][/tex]
2. Multiplicamos todo por el mínimo común denominador, que es 28:
[tex]\[ 14x - 7 \leq 40x \][/tex]
3. Restamos \(14x\) de ambos lados:
[tex]\[ -7 \leq 26x \][/tex]
4. Dividimos por 26:
[tex]\[ x \geq -\frac{7}{26} \approx -0.269 \][/tex]
Conclusión: \( x \geq -0.269230769230769 \).
### 3. Resolver la desigualdad \(4(x-1) > 10x + 15\)
Para resolver \(4(x-1) > 10x + 15\):
1. Primero expandimos y simplificamos la desigualdad:
[tex]\[ 4x - 4 > 10x + 15 \][/tex]
2. Restamos \(4x\) de ambos lados:
[tex]\[ -4 > 6x + 15 \][/tex]
3. Restamos 15 de ambos lados:
[tex]\[ -19 > 6x \][/tex]
4. Dividimos por 6:
[tex]\[ x < -\frac{19}{6} \approx -3.167 \][/tex]
Conclusión: \( x < -\frac{19}{6} \).
### 4. Resolver la desigualdad \(x^2 - 3x \geq -2\)
Para resolver \(x^2 - 3x \geq -2\):
1. Movemos todos los términos a un lado de la desigualdad:
[tex]\[ x^2 - 3x + 2 \geq 0 \][/tex]
2. Factorizamos el trinomio:
[tex]\[ (x - 1)(x - 2) \geq 0 \][/tex]
3. Determinamos los puntos críticos \(x = 1\) y \(x = 2\).
4. Analizamos los intervalos determinados por estos puntos críticos:
- Intervalo: \((-\infty, 1]\)
- Intervalo: \((1, 2)\)
- Intervalo: \((2, \infty)\)
5. Probamos la expresión en esos intervalos:
- En \( (-\infty, 1] \) la expresión es positiva.
- En \( (1, 2) \) la expresión es negativa.
- En \( (2, \infty) \) la expresión es positiva.
Conclusión: \( x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty) \).
### 5. Resolver la desigualdad \(x^3 - 2x^2 - x + 2 \leq 0\)
Para resolver \(x^3 - 2x^2 - x + 2 \leq 0\):
1. Factorizamos el polinomio (usando factorización sintética o de otra manera):
[tex]\[ (x - 1)(x + 1)(x - 2) \leq 0 \][/tex]
2. Determinamos los puntos críticos \(x = -1, 1, 2\).
3. Analizamos los intervalos determinados por estos puntos críticos:
- Intervalo: \( (-\infty, -1) \)
- Intervalo: \( (-1, 1) \)
- Intervalo: \( (1, 2) \)
- Intervalo: \( (2, \infty) \)
4. Probamos la expresión en esos intervalos:
- En \( (-\infty, -1) \) la expresión es negativa.
- En \( (-1, 1) \) la expresión es positiva.
- En \( (1, 2) \) la expresión es negativa.
- En \( (2, \infty) \) la expresión es positiva.
Conclusión: \( x \in (-\infty, -1] \cup [1, 2] \).
En resumen:
1. \( 0 \leq x < 4 \)
2. \( x \geq -0.269230769230769 \)
3. \( x < -\frac{19}{6} \)
4. \( x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty) \)
5. [tex]\( x \in (-\infty, -1] \cup [1, 2] \)[/tex]
### 1. Resolver la desigualdad \(\frac{5 x}{x-4} \leq 0\)
Para resolver \(\frac{5 x}{x-4} \leq 0\):
1. Identificamos los valores críticos de la fracción, los cuales ocurren cuando el numerador es igual a cero y cuando el denominador es igual a cero:
- El numerador \(5x = 0\) implica que \(x = 0\).
- El denominador \(x - 4 = 0\) implica que \(x = 4\).
2. Dividimos la recta real en intervalos usando estos puntos críticos:
- Intervalo: \( (-\infty, 0) \)
- Intervalo: \( (0, 4) \)
- Intervalo: \( (4, \infty) \)
3. Probamos los signos de la fracción dentro de cada intervalo:
- En \( (-\infty, 0) \), \( \frac{5x}{x-4} \) es negativa.
- En \( (0, 4) \), \( \frac{5x}{x-4} \) es negativa.
- En \( (4, \infty) \), \( \frac{5x}{x-4} \) es positiva.
4. Determinamos donde la fracción es menor o igual a cero:
- \( \frac{5x}{x-4} \leq 0 \) en \(-\infty < x \leq 0\) y \( 0 < x < 4 \). Notamos que \( \frac{5x}{x-4} = 0 \) solo cuando \( x = 0 \).
Conclusión: \( 0 \leq x < 4 \).
### 2. Resolver la desigualdad \(\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \leq \frac{10x}{7}\)
Para resolver \(\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \leq \frac{10x}{7}\):
1. Simplificamos la desigualdad:
[tex]\[ \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \leq \frac{10x}{7} \][/tex]
2. Multiplicamos todo por el mínimo común denominador, que es 28:
[tex]\[ 14x - 7 \leq 40x \][/tex]
3. Restamos \(14x\) de ambos lados:
[tex]\[ -7 \leq 26x \][/tex]
4. Dividimos por 26:
[tex]\[ x \geq -\frac{7}{26} \approx -0.269 \][/tex]
Conclusión: \( x \geq -0.269230769230769 \).
### 3. Resolver la desigualdad \(4(x-1) > 10x + 15\)
Para resolver \(4(x-1) > 10x + 15\):
1. Primero expandimos y simplificamos la desigualdad:
[tex]\[ 4x - 4 > 10x + 15 \][/tex]
2. Restamos \(4x\) de ambos lados:
[tex]\[ -4 > 6x + 15 \][/tex]
3. Restamos 15 de ambos lados:
[tex]\[ -19 > 6x \][/tex]
4. Dividimos por 6:
[tex]\[ x < -\frac{19}{6} \approx -3.167 \][/tex]
Conclusión: \( x < -\frac{19}{6} \).
### 4. Resolver la desigualdad \(x^2 - 3x \geq -2\)
Para resolver \(x^2 - 3x \geq -2\):
1. Movemos todos los términos a un lado de la desigualdad:
[tex]\[ x^2 - 3x + 2 \geq 0 \][/tex]
2. Factorizamos el trinomio:
[tex]\[ (x - 1)(x - 2) \geq 0 \][/tex]
3. Determinamos los puntos críticos \(x = 1\) y \(x = 2\).
4. Analizamos los intervalos determinados por estos puntos críticos:
- Intervalo: \((-\infty, 1]\)
- Intervalo: \((1, 2)\)
- Intervalo: \((2, \infty)\)
5. Probamos la expresión en esos intervalos:
- En \( (-\infty, 1] \) la expresión es positiva.
- En \( (1, 2) \) la expresión es negativa.
- En \( (2, \infty) \) la expresión es positiva.
Conclusión: \( x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty) \).
### 5. Resolver la desigualdad \(x^3 - 2x^2 - x + 2 \leq 0\)
Para resolver \(x^3 - 2x^2 - x + 2 \leq 0\):
1. Factorizamos el polinomio (usando factorización sintética o de otra manera):
[tex]\[ (x - 1)(x + 1)(x - 2) \leq 0 \][/tex]
2. Determinamos los puntos críticos \(x = -1, 1, 2\).
3. Analizamos los intervalos determinados por estos puntos críticos:
- Intervalo: \( (-\infty, -1) \)
- Intervalo: \( (-1, 1) \)
- Intervalo: \( (1, 2) \)
- Intervalo: \( (2, \infty) \)
4. Probamos la expresión en esos intervalos:
- En \( (-\infty, -1) \) la expresión es negativa.
- En \( (-1, 1) \) la expresión es positiva.
- En \( (1, 2) \) la expresión es negativa.
- En \( (2, \infty) \) la expresión es positiva.
Conclusión: \( x \in (-\infty, -1] \cup [1, 2] \).
En resumen:
1. \( 0 \leq x < 4 \)
2. \( x \geq -0.269230769230769 \)
3. \( x < -\frac{19}{6} \)
4. \( x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty) \)
5. [tex]\( x \in (-\infty, -1] \cup [1, 2] \)[/tex]
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