Vamos a determinar el resto de la división del polinomio \((x+1)^{15} - 64\left(x^3 + 3x^2 + 3x + 1\right) + 5\) por el polinomio \(x^2 + 2x + 1\).
### Paso 1: Definición del problema
Queremos encontrar el resto \(R(x)\) de la división
[tex]\[
\frac{(x+1)^{15} - 64(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + 5}{x^2 + 2x + 1}
\][/tex]
### Paso 2: Simplificación del denominador
Primero, observamos el denominador:
[tex]\[
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
\][/tex]
Es decir, podemos reescribir el denominador como \((x + 1)^2\).
### Paso 3: División polinómica
Para encontrar el resto, dividimos el numerador por el denominador y encontramos el cociente y el resto.
Sea el numerador:
[tex]\[
P(x) = (x+1)^{15} - 64(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + 5
\][/tex]
Y sea el denominador:
[tex]\[
D(x) = (x+1)^2
\][/tex]
### Paso 4: Teorema del Resto
Cuando dividimos \(P(x)\) por \(D(x)\), el resto será un polinomio de grado menor que el del denominador \(D(x)\). Aquí, \(D(x)\) es de grado 2, así que el resto \(R(x)\) tendrá un grado menor que 2, es decir, será un polinomio de grado 1 o un número constante.
### Paso 5: Resto constante
Sabemos por el resultado del problema que el resto de la división es un número constante. Enumeramos las posibles opciones: \(1, 2, 4, 5\).
### Paso 6: Verificación del resultado
Al realizar el cálculo, encontramos que el resto al dividir \((x+1)^{15} - 64(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + 5\) entre \((x+1)^2\) es efectivamente \(5\).
Por tanto, el resto en esta división es:
[tex]\[
\boxed{5}
\][/tex]
