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2. Desarrolla las siguientes expresiones aritméticas utilizando las propiedades de los logaritmos.

Ejemplo: [tex]\log _2(8 \times 16 \times 24)=\log _2 8+\log _2 16+\log _2 24=3+4+6=13[/tex]

a) [tex]\log _2 8+\log _3 9+\log _5 5=[/tex]

b) [tex]\log _3 \frac{1}{81}=[/tex]

c) [tex]\log _5 \frac{1}{125}=[/tex]

d) [tex]\log _{\frac{1}{5}} 25=[/tex]

e) [tex]\log _{\frac{1}{3}} 27=[/tex]

Sagot :

GinnyAnswer
Vamos a resolver cada una de las expresiones usando las propiedades de los logaritmos.

### Parte a) \(\log_2 8 + \log_3 9 + \log_5 5\)
1. \(\log_2 8\): Sabemos que \(8 = 2^3\), así que \(\log_2 8 = 3\).
2. \(\log_3 9\): Sabemos que \(9 = 3^2\), así que \(\log_3 9 = 2\).
3. \(\log_5 5\): Sabemos que \(5 = 5^1\), así que \(\log_5 5 = 1\).

Sumamos los resultados:
[tex]\[ \log_2 8 + \log_3 9 + \log_5 5 = 3 + 2 + 1 = 6 \][/tex]

### Parte b) \(\log_3 \frac{1}{81}\)
1. Sabemos que \(81 = 3^4\), así que \(\log_3 81 = 4\).
2. Para el logaritmo de un recíproco \( \log_b \frac{1}{x} = -\log_b x\), entonces:
[tex]\[ \log_3 \frac{1}{81} = -\log_3 81 = -4 \][/tex]

### Parte c) \(\log_5 \frac{1}{125}\)
1. Sabemos que \(125 = 5^3\), así que \(\log_5 125 = 3\).
2. Para el logaritmo de un recíproco \( \log_b \frac{1}{x} = -\log_b x\), entonces:
[tex]\[ \log_5 \frac{1}{125} = -\log_5 125 = -3 \][/tex]

### Parte d) \(\log_{\frac{1}{5}} 25\)
1. Sabemos que \(1/5 = 5^{-1}\), entonces usar la base \(1/5\) es como usar \(5^{-1}\).
2. Sabemos que \(25 = 5^2\), así que hacemos lo siguiente:
3. \(\log_{5^{-1}} 25 = \log_{5^{-1}} (5^2)\)
4. Por la propiedad de los logaritmos \(\log_b (a^c) = \frac{c}{\log_a b}\):
[tex]\[ \log_{5^{-1}} (5^2) = 2 \cdot \log_{5^{-1}} 5 \][/tex]
5. Sabemos que \(5^{-1} = 1/5\):
[tex]\[ \log_{5^{-1}} 5 = \frac{1}{-1} = -1 \][/tex]
6. Entonces:
[tex]\[ 2 \cdot (-1) = -2 \][/tex]

### Parte e) \(\log_{\frac{1}{3}} 27\)
1. Sabemos que \(1/3 = 3^{-1}\), entonces usar la base \(1/3\) es como usar \(3^{-1}\).
2. Sabemos que \(27 = 3^3\), así que hacemos lo siguiente:
3. \(\log_{3^{-1}} 27 = \log_{3^{-1}} (3^3)\)
4. Por la propiedad de los logaritmos \(\log_b (a^c) = \frac{c}{\log_a b}\):
[tex]\[ \log_{3^{-1}} (3^3) = 3 \cdot \log_{3^{-1}} 3 \][/tex]
5. Sabemos que \(3^{-1} = 1/3\):
[tex]\[ \log_{3^{-1}} 3 = \frac{1}{-1} = -1 \][/tex]
6. Entonces:
[tex]\[ 3 \cdot (-1) = -3 \][/tex]

En resumen, las soluciones son:
a) \(6\)
b) \(-4\)
c) \(-3\)
d) \(-2\)
e) [tex]\(-3\)[/tex]
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