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Sagot :
Para resolver este problema, seguiremos un enfoque sistemático. Vamos a utilizar la relación entre el trabajo realizado, la fuerza aplicada, la distancia recorrida, y el ángulo con respecto a la dirección del movimiento, además de la fórmula de la fuerza gravitacional para encontrar la masa del cuerpo. Aquí está el paso a paso:
1. Entendiendo la fórmula del trabajo:
El trabajo \( W \) realizado por una fuerza \( F \) que actúa sobre un cuerpo en el curso de una distancia \( d \) con un ángulo \( \theta \) entre la dirección de la fuerza y la dirección del movimiento, se calcula con la fórmula:
[tex]\[ W = F \cdot d \cdot \cos(\theta) \][/tex]
Donde:
- \( W \) es el trabajo (en julios)
- \( F \) es la fuerza aplicada (en newtons)
- \( d \) es la distancia recorrida (en metros)
- \( \theta \) es el ángulo entre la fuerza y la dirección del movimiento (en grados, pero debemos convertirlo a radianes para los cálculos)
2. Convertir el ángulo a radianes:
Los cálculos trigonométricos usualmente se realizan en radianes, por lo que debemos convertir el ángulo de grados a radianes. La conversión se realiza usando la fórmula:
[tex]\[ \theta_{\text{radianes}} = \theta_{\text{grados}} \cdot \frac{\pi}{180} \][/tex]
Para nuestro problema:
[tex]\[ \theta = 18^{\circ} \rightarrow \theta \approx 0.314159 \text{ radianes} \][/tex]
3. Despejar la fuerza \( F \) de la fórmula del trabajo:
Rearreglamos la fórmula de trabajo para aislar la fuerza \( F \):
[tex]\[ F = \frac{W}{d \cdot \cos(\theta)} \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ W = 50 \text{ julios}, \quad d = 35 \text{ metros}, \quad \theta \approx 0.314159 \text{ radianes} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ F \approx \frac{50}{35 \cdot \cos(0.314159)} \approx 1.502089 \text{ newtons} \][/tex]
4. Relación entre la fuerza, masa y gravedad:
La fuerza también se puede expresar en términos de la masa \( m \) del objeto y la aceleración debida a la gravedad \( g \) (9.8 m/s\(^2\)). La fórmula es:
[tex]\[ F = m \cdot g \][/tex]
Despejamos la masa:
[tex]\[ m = \frac{F}{g} \][/tex]
Sustituimos los valores de \( F \approx 1.502089 \text{ newtons} \) y \( g = 9.8 \text{ m/s}^2 \):
[tex]\[ m \approx \frac{1.502089}{9.8} \approx 0.153274 \text{ kilogramos} \][/tex]
Conclusión:
El cuerpo tiene una masa aproximada de \( 0.153 \) kilogramos.
Estos son los valores clave que hemos encontrado:
- El ángulo convertido a radianes es aproximadamente \( 0.314159 \) radianes.
- La fuerza aplicada es aproximadamente \( 1.502 \) newtons.
- La masa del cuerpo es aproximadamente [tex]\( 0.153 \)[/tex] kilogramos.
1. Entendiendo la fórmula del trabajo:
El trabajo \( W \) realizado por una fuerza \( F \) que actúa sobre un cuerpo en el curso de una distancia \( d \) con un ángulo \( \theta \) entre la dirección de la fuerza y la dirección del movimiento, se calcula con la fórmula:
[tex]\[ W = F \cdot d \cdot \cos(\theta) \][/tex]
Donde:
- \( W \) es el trabajo (en julios)
- \( F \) es la fuerza aplicada (en newtons)
- \( d \) es la distancia recorrida (en metros)
- \( \theta \) es el ángulo entre la fuerza y la dirección del movimiento (en grados, pero debemos convertirlo a radianes para los cálculos)
2. Convertir el ángulo a radianes:
Los cálculos trigonométricos usualmente se realizan en radianes, por lo que debemos convertir el ángulo de grados a radianes. La conversión se realiza usando la fórmula:
[tex]\[ \theta_{\text{radianes}} = \theta_{\text{grados}} \cdot \frac{\pi}{180} \][/tex]
Para nuestro problema:
[tex]\[ \theta = 18^{\circ} \rightarrow \theta \approx 0.314159 \text{ radianes} \][/tex]
3. Despejar la fuerza \( F \) de la fórmula del trabajo:
Rearreglamos la fórmula de trabajo para aislar la fuerza \( F \):
[tex]\[ F = \frac{W}{d \cdot \cos(\theta)} \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ W = 50 \text{ julios}, \quad d = 35 \text{ metros}, \quad \theta \approx 0.314159 \text{ radianes} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ F \approx \frac{50}{35 \cdot \cos(0.314159)} \approx 1.502089 \text{ newtons} \][/tex]
4. Relación entre la fuerza, masa y gravedad:
La fuerza también se puede expresar en términos de la masa \( m \) del objeto y la aceleración debida a la gravedad \( g \) (9.8 m/s\(^2\)). La fórmula es:
[tex]\[ F = m \cdot g \][/tex]
Despejamos la masa:
[tex]\[ m = \frac{F}{g} \][/tex]
Sustituimos los valores de \( F \approx 1.502089 \text{ newtons} \) y \( g = 9.8 \text{ m/s}^2 \):
[tex]\[ m \approx \frac{1.502089}{9.8} \approx 0.153274 \text{ kilogramos} \][/tex]
Conclusión:
El cuerpo tiene una masa aproximada de \( 0.153 \) kilogramos.
Estos son los valores clave que hemos encontrado:
- El ángulo convertido a radianes es aproximadamente \( 0.314159 \) radianes.
- La fuerza aplicada es aproximadamente \( 1.502 \) newtons.
- La masa del cuerpo es aproximadamente [tex]\( 0.153 \)[/tex] kilogramos.
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