Para hallar los números que satisfacen las condiciones dadas, podemos plantear un sistema de ecuaciones. Llamemos a los números \( x \) y \( y \).
### Paso 1: Plantear las ecuaciones
Primera condición: un tercio del primer número más un quinto del segundo número da como resultado 12. Matemáticamente, esto se expresa como:
[tex]\[ \frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 12 \][/tex]
Segunda condición: la suma del primer número multiplicado por 5 más el segundo número multiplicado por 7 es igual a 300. Matemáticamente, esto se expresa como:
[tex]\[ 5x + 7y = 300 \][/tex]
Nuestro sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma:
1. \( \frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 12 \)
2. \( 5x + 7y = 300 \)
### Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones
Para resolver el sistema, podemos despejar y sustituir una de las ecuaciones.
Multiplicamos la primera ecuación por 15 para deshacernos de los denominadores:
[tex]\[ 15 \left( \frac{x}{3} + \frac{y}{5} \right) = 15 \times 12 \][/tex]
[tex]\[ 5x + 3y = 180 \][/tex]
Ahora tenemos dos ecuaciones en forma simplificada:
1. \( 5x + 3y = 180 \)
2. \( 5x + 7y = 300 \)
Restamos la primera ecuación de la segunda para eliminar \( x \):
[tex]\[ (5x + 7y) - (5x + 3y) = 300 - 180 \][/tex]
[tex]\[ 4y = 120 \][/tex]
[tex]\[ y = 30 \][/tex]
### Paso 3: Sustitución del valor encontrado
Ahora que tenemos el valor de \( y \), lo sustituimos en la primera ecuación para encontrar \( x \):
[tex]\[ 5x + 3(30) = 180 \][/tex]
[tex]\[ 5x + 90 = 180 \][/tex]
[tex]\[ 5x = 180 - 90 \][/tex]
[tex]\[ 5x = 90 \][/tex]
[tex]\[ x = 18 \][/tex]
### Respuesta Final
Los números que satisfacen las condiciones dadas son:
[tex]\[ x = 18 \][/tex]
[tex]\[ y = 30 \][/tex]
Verificación:
- La suma de un tercio del primero más un quinto del segundo:
[tex]\[ \frac{18}{3} + \frac{30}{5} = 6 + 6 = 12 \][/tex]
- La suma del primero multiplicado por 5 y el segundo multiplicado por 7:
[tex]\[ 5 \times 18 + 7 \times 30 = 90 + 210 = 300 \][/tex]
Ambas condiciones se cumplen, por lo que la solución del problema es correcta.
