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Sagot :
¡Por supuesto! Vamos a analizar el polinomio \( R(x) = 2x^3 + 5x^2 - 5x + 1 \) en detalle. Aquí te dejo un desglose de los aspectos más relevantes:
### 1. Encontrar las raíces del polinomio
Las raíces de un polinomio son los valores de \(x\) para los que el polinomio se iguala a cero. En otras palabras, son los puntos donde el polinomio corta el eje \(x\).
Para \( R(x) = 2x^3 + 5x^2 - 5x + 1 \):
Las raíces son:
[tex]\[ x = \frac{1}{2}, \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}, \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{3}{2}. \][/tex]
### 2. Calcular la derivada del polinomio
La derivada de un polinomio nos da la pendiente de la tangente a la curva en cualquier punto del polinomio. Nos muestra cómo cambia el polinomio en relación con \( x \).
Para \( R(x) = 2x^3 + 5x^2 - 5x + 1 \), la derivada es:
[tex]\[ R'(x) = 6x^2 + 10x - 5. \][/tex]
### 3. Encontrar los puntos críticos del polinomio
Los puntos críticos de un polinomio se encuentran al igualar su derivada a cero. Estos puntos son donde la pendiente de la tangente es cero, es decir, donde la curva tiene máximos, mínimos o puntos de inflexión.
Igualando la derivada a cero:
[tex]\[ 6x^2 + 10x - 5 = 0. \][/tex]
Resolviendo esta ecuación encontramos los puntos críticos:
[tex]\[ x = -\frac{5}{6} + \frac{\sqrt{55}}{6}, \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{\sqrt{55}}{6} - \frac{5}{6}. \][/tex]
### 4. Calcular la integral indefinida del polinomio
La integral indefinida de un polinomio nos da la función original que, al ser derivada, nos devuelve el polinomio. Es el área acumulada bajo la curva del polinomio.
Para \( R(x) = 2x^3 + 5x^2 - 5x + 1 \), la integral indefinida es:
[tex]\[ \int R(x) \, dx = \frac{x^4}{2} + \frac{5x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + x + C, \][/tex]
donde \( C \) es la constante de integración.
### Resumen final
- Las raíces de \( R(x) \) son \( \frac{1}{2}, -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}, -\frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{3}{2} \).
- La derivada de \( R(x) \) es \( R'(x) = 6x^2 + 10x - 5 \).
- Los puntos críticos de \( R(x) \) son \( -\frac{5}{6} + \frac{\sqrt{55}}{6}, -\frac{\sqrt{55}}{6} - \frac{5}{6} \).
- La integral indefinida de [tex]\( R(x) \)[/tex] es [tex]\( \frac{x^4}{2} + \frac{5x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + x + C \)[/tex].
### 1. Encontrar las raíces del polinomio
Las raíces de un polinomio son los valores de \(x\) para los que el polinomio se iguala a cero. En otras palabras, son los puntos donde el polinomio corta el eje \(x\).
Para \( R(x) = 2x^3 + 5x^2 - 5x + 1 \):
Las raíces son:
[tex]\[ x = \frac{1}{2}, \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}, \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{3}{2}. \][/tex]
### 2. Calcular la derivada del polinomio
La derivada de un polinomio nos da la pendiente de la tangente a la curva en cualquier punto del polinomio. Nos muestra cómo cambia el polinomio en relación con \( x \).
Para \( R(x) = 2x^3 + 5x^2 - 5x + 1 \), la derivada es:
[tex]\[ R'(x) = 6x^2 + 10x - 5. \][/tex]
### 3. Encontrar los puntos críticos del polinomio
Los puntos críticos de un polinomio se encuentran al igualar su derivada a cero. Estos puntos son donde la pendiente de la tangente es cero, es decir, donde la curva tiene máximos, mínimos o puntos de inflexión.
Igualando la derivada a cero:
[tex]\[ 6x^2 + 10x - 5 = 0. \][/tex]
Resolviendo esta ecuación encontramos los puntos críticos:
[tex]\[ x = -\frac{5}{6} + \frac{\sqrt{55}}{6}, \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{\sqrt{55}}{6} - \frac{5}{6}. \][/tex]
### 4. Calcular la integral indefinida del polinomio
La integral indefinida de un polinomio nos da la función original que, al ser derivada, nos devuelve el polinomio. Es el área acumulada bajo la curva del polinomio.
Para \( R(x) = 2x^3 + 5x^2 - 5x + 1 \), la integral indefinida es:
[tex]\[ \int R(x) \, dx = \frac{x^4}{2} + \frac{5x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + x + C, \][/tex]
donde \( C \) es la constante de integración.
### Resumen final
- Las raíces de \( R(x) \) son \( \frac{1}{2}, -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}, -\frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{3}{2} \).
- La derivada de \( R(x) \) es \( R'(x) = 6x^2 + 10x - 5 \).
- Los puntos críticos de \( R(x) \) son \( -\frac{5}{6} + \frac{\sqrt{55}}{6}, -\frac{\sqrt{55}}{6} - \frac{5}{6} \).
- La integral indefinida de [tex]\( R(x) \)[/tex] es [tex]\( \frac{x^4}{2} + \frac{5x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + x + C \)[/tex].
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