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Sagot :
Por supuesto, vamos a resolver este problema paso a paso:
### 1. Cálculo de las componentes de la velocidad
Se nos da una velocidad inicial (\(v_0\)) de 400 m/s y un ángulo de proyección (\( \theta \)) de 30°.
Para descomponer la velocidad en sus componentes horizontal (\(v_{0x}\)) y vertical (\(v_{0y}\)), utilizamos las funciones trigonométricas seno y coseno:
[tex]\[ v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\theta) \][/tex]
[tex]\[ v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\theta) \][/tex]
- \( \cos(30^\circ) \approx 0.866 \)
- \( \sin(30^\circ) = 0.5 \)
Entonces,
[tex]\[ v_{0x} = 400 \, \text{m/s} \cdot 0.866 \approx 346.41 \, \text{m/s} \][/tex]
[tex]\[ v_{0y} = 400 \, \text{m/s} \cdot 0.5 = 200 \, \text{m/s} \][/tex]
### 2. Cálculo del tiempo de vuelo
El proyectil es lanzado desde una altura inicial (\( h_0 \)) de 150 m. Debemos encontrar el tiempo total de vuelo (o tiempo de caída al suelo).
La ecuación temporal del movimiento vertical está dada por:
[tex]\[ y(t) = h_0 + v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2 \][/tex]
Donde \(g\) es la aceleración debida a la gravedad (aproximadamente 9.81 m/s²). Cuando el proyectil toca el suelo, \(y(t) = 0\). Resolviendo esto para \(t\), tenemos:
[tex]\[ 0 = 150 \, \text{m} + (200 \, \text{m/s}) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot t^2 \][/tex]
Esta es una ecuación cuadrática de la forma \( a t^2 + b t + c = 0 \), donde:
- \( a = 0.5 \cdot 9.81 = 4.905 \)
- \( b = -200 \)
- \( c = 150 \)
Utilizando la fórmula cuadrática \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
Obtenemos dos soluciones para \( t \), pero solo la positiva es físicamente significativa:
[tex]\[ t \approx 41.51 \, \text{s} \][/tex]
### 3. Cálculo del alcance horizontal
El alcance horizontal (\( R \)) se calcula multiplicando la componente horizontal de la velocidad por el tiempo total de vuelo:
[tex]\[ R = v_{0x} \cdot t \][/tex]
[tex]\[ R = 346.41 \, \text{m/s} \cdot 41.51 \, \text{s} \approx 14379.97 \, \text{m} \][/tex]
### 4. Cálculo de la altura máxima
La altura máxima se logra en el punto donde la velocidad vertical es cero. El tiempo para alcanzar la altura máxima (\( t_{\text{max}} \)) es:
[tex]\[ t_{\text{max}} = \frac{v_{0y}}{g} \][/tex]
[tex]\[ t_{\text{max}} = \frac{200 \, \text{m/s}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \approx 20.39 \, \text{s} \][/tex]
La altura máxima (\( h_{\text{max}} \)) se calcula sustituyendo \( t_{\text{max}} \) en la ecuación de la altura:
[tex]\[ h_{\text{max}} = h_0 + v_{0y} \cdot t_{\text{max}} - \frac{1}{2} g \cdot t_{\text{max}}^2 \][/tex]
[tex]\[ h_{\text{max}} = 150 \, \text{m} + 200 \, \text{m/s} \cdot 20.39 \, \text{s} - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot (20.39 \, \text{s})^2 \][/tex]
[tex]\[ h_{\text{max}} \approx 2188.74 \, \text{m} \][/tex]
Vamos a resumir las respuestas:
a) Las componentes de la velocidad:
- Componente horizontal (\(v_{0x}\)): 346.41 m/s
- Componente vertical (\(v_{0y}\)): 200 m/s
b) Tiempo de caída al suelo:
- Tiempo total de vuelo (\(t\)): 41.51 s
c) Alcance horizontal:
- Alcance: 14379.97 m
d) Altura máxima:
- Altura máxima: 2188.74 m
### 1. Cálculo de las componentes de la velocidad
Se nos da una velocidad inicial (\(v_0\)) de 400 m/s y un ángulo de proyección (\( \theta \)) de 30°.
Para descomponer la velocidad en sus componentes horizontal (\(v_{0x}\)) y vertical (\(v_{0y}\)), utilizamos las funciones trigonométricas seno y coseno:
[tex]\[ v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\theta) \][/tex]
[tex]\[ v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\theta) \][/tex]
- \( \cos(30^\circ) \approx 0.866 \)
- \( \sin(30^\circ) = 0.5 \)
Entonces,
[tex]\[ v_{0x} = 400 \, \text{m/s} \cdot 0.866 \approx 346.41 \, \text{m/s} \][/tex]
[tex]\[ v_{0y} = 400 \, \text{m/s} \cdot 0.5 = 200 \, \text{m/s} \][/tex]
### 2. Cálculo del tiempo de vuelo
El proyectil es lanzado desde una altura inicial (\( h_0 \)) de 150 m. Debemos encontrar el tiempo total de vuelo (o tiempo de caída al suelo).
La ecuación temporal del movimiento vertical está dada por:
[tex]\[ y(t) = h_0 + v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2 \][/tex]
Donde \(g\) es la aceleración debida a la gravedad (aproximadamente 9.81 m/s²). Cuando el proyectil toca el suelo, \(y(t) = 0\). Resolviendo esto para \(t\), tenemos:
[tex]\[ 0 = 150 \, \text{m} + (200 \, \text{m/s}) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot t^2 \][/tex]
Esta es una ecuación cuadrática de la forma \( a t^2 + b t + c = 0 \), donde:
- \( a = 0.5 \cdot 9.81 = 4.905 \)
- \( b = -200 \)
- \( c = 150 \)
Utilizando la fórmula cuadrática \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
Obtenemos dos soluciones para \( t \), pero solo la positiva es físicamente significativa:
[tex]\[ t \approx 41.51 \, \text{s} \][/tex]
### 3. Cálculo del alcance horizontal
El alcance horizontal (\( R \)) se calcula multiplicando la componente horizontal de la velocidad por el tiempo total de vuelo:
[tex]\[ R = v_{0x} \cdot t \][/tex]
[tex]\[ R = 346.41 \, \text{m/s} \cdot 41.51 \, \text{s} \approx 14379.97 \, \text{m} \][/tex]
### 4. Cálculo de la altura máxima
La altura máxima se logra en el punto donde la velocidad vertical es cero. El tiempo para alcanzar la altura máxima (\( t_{\text{max}} \)) es:
[tex]\[ t_{\text{max}} = \frac{v_{0y}}{g} \][/tex]
[tex]\[ t_{\text{max}} = \frac{200 \, \text{m/s}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \approx 20.39 \, \text{s} \][/tex]
La altura máxima (\( h_{\text{max}} \)) se calcula sustituyendo \( t_{\text{max}} \) en la ecuación de la altura:
[tex]\[ h_{\text{max}} = h_0 + v_{0y} \cdot t_{\text{max}} - \frac{1}{2} g \cdot t_{\text{max}}^2 \][/tex]
[tex]\[ h_{\text{max}} = 150 \, \text{m} + 200 \, \text{m/s} \cdot 20.39 \, \text{s} - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot (20.39 \, \text{s})^2 \][/tex]
[tex]\[ h_{\text{max}} \approx 2188.74 \, \text{m} \][/tex]
Vamos a resumir las respuestas:
a) Las componentes de la velocidad:
- Componente horizontal (\(v_{0x}\)): 346.41 m/s
- Componente vertical (\(v_{0y}\)): 200 m/s
b) Tiempo de caída al suelo:
- Tiempo total de vuelo (\(t\)): 41.51 s
c) Alcance horizontal:
- Alcance: 14379.97 m
d) Altura máxima:
- Altura máxima: 2188.74 m
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