¡Claro! Vamos a resolver el problema paso a paso.
### a) El vector posición en el instante [tex]\( t = 4 \ \text{s} \)[/tex]
Dado el vector posición en función del tiempo:
[tex]\[
\bar{r}(t) = (2t + 3) \vec{\imath} + (3t - 4t) \vec{\jmath}
\][/tex]
Primero, simplificamos la expresión de la componente en la dirección [tex]\(\vec{\jmath}\)[/tex]:
[tex]\[
3t - 4t = -t
\][/tex]
Por lo tanto, la expresión del vector posición es:
[tex]\[
\bar{r}(t) = (2t + 3) \vec{\imath} - t \vec{\jmath}
\][/tex]
Ahora, evaluamos esta expresión en [tex]\( t = 4 \ \text{s} \)[/tex]:
[tex]\[
\bar{r}(4) = (2(4) + 3) \vec{\imath} - 4 \vec{\jmath}
\][/tex]
Calculamos cada componente:
[tex]\[
2(4) + 3 = 8 + 3 = 11
\][/tex]
[tex]\[
-4
\][/tex]
Así que el vector posición en [tex]\( t = 4 \ \text{s} \)[/tex] es:
[tex]\[
\bar{r}(4) = 11 \vec{\imath} - 4 \vec{\jmath}
\][/tex]
Expresado en forma de vector:
[tex]\[
\bar{r}(4) = \begin{pmatrix} 11 \\ -4 \end{pmatrix}
\][/tex]
### b) La distancia recorrida para [tex]\( t = 4 \ \text{s} \)[/tex]
Para calcular la distancia recorrida, necesitamos la magnitud del vector posición [tex]\(\bar{r}(4)\)[/tex].
La magnitud de un vector [tex]\(\bar{r}\)[/tex] dado por [tex]\((x, y)\)[/tex], se calcula usando el teorema de Pitágoras:
[tex]\[
|\bar{r}| = \sqrt{x^2 + y^2}
\][/tex]
En nuestro caso, el vector [tex]\(\bar{r}(4)\)[/tex] es [tex]\(\begin{pmatrix} 11 \\ -4 \end{pmatrix}\)[/tex], así que la magnitud es:
[tex]\[
|\bar{r}(4)| = \sqrt{(11)^2 + (-4)^2}
\][/tex]
Calculamos los cuadrados:
[tex]\[
11^2 = 121
\][/tex]
[tex]\[
(-4)^2 = 16
\][/tex]
Sumamos estos valores:
[tex]\[
121 + 16 = 137
\][/tex]
Y encontramos la raíz cuadrada:
[tex]\[
|\bar{r}(4)| = \sqrt{137} \approx 11.70
\][/tex]
Entonces, la distancia recorrida a [tex]\( t = 4 \ \text{s} \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( 11.70 \)[/tex] unidades.
### Resumen de respuestas:
a) El vector posición en [tex]\( t = 4 \ \text{s} \)[/tex] es: [tex]\(\begin{pmatrix} 11 \\ -4 \end{pmatrix}\)[/tex].
b) La distancia recorrida para [tex]\( t = 4 \ \text{s} \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( 11.70 \)[/tex] unidades.
