Para encontrar el valor de [tex]\( a \)[/tex] para que el número [tex]\( z \)[/tex] sea un número real, empezamos con la división del número complejo [tex]\( \frac{3 + ai}{1 + i} \)[/tex]. Este tipo de división se simplifica multiplicando tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.
Primero, recordemos que el conjugado de [tex]\( 1 + i \)[/tex] es [tex]\( 1 - i \)[/tex].
Entonces:
[tex]\[
\frac{3 + ai}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}
\][/tex]
Simplifiquemos el numerador y el denominador por separado:
Numerador:
[tex]\[
(3 + ai)(1 - i) = 3(1 - i) + ai(1 - i)
\][/tex]
[tex]\[
= 3 - 3i + ai(1 - i)
\][/tex]
Distribuimos [tex]\( ai \)[/tex]:
[tex]\[
= 3 - 3i + ai - a i^2
\][/tex]
Sabemos que [tex]\( i^2 = -1 \)[/tex], entonces [tex]\( -a i^2 = a \)[/tex]:
[tex]\[
= 3 - 3i + ai + a
\][/tex]
[tex]\[
= (3 + a) + (a - 3)i
\][/tex]
Denominador:
[tex]\[
(1 + i)(1 - i) = 1 - i + i - i^2
\][/tex]
[tex]\[
= 1 - i^2
\][/tex]
[tex]\[
= 1 + 1 = 2
\][/tex]
Entonces, el número complejo [tex]\( \frac{3 + ai}{1 + i} \)[/tex] se convierte en:
[tex]\[
\frac{(3 + a) + (a - 3)i}{2}
\][/tex]
Para que este número sea real, necesitamos que la parte imaginaria sea cero. Por lo tanto, la parte imaginaria [tex]\(\frac{a - 3}{2}\)[/tex] debe ser igual a cero:
[tex]\[
\frac{a - 3}{2} = 0
\][/tex]
Multiplicamos ambos lados por 2:
[tex]\[
a - 3 = 0
\][/tex]
Sumamos 3 a ambos lados:
[tex]\[
a = 3
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( a \)[/tex] que hace que [tex]\( z \)[/tex] sea un número real es [tex]\( a = 3 \)[/tex].
