Westonci.ca offers fast, accurate answers to your questions. Join our community and get the insights you need now. Join our Q&A platform to connect with experts dedicated to providing precise answers to your questions in different areas. Experience the ease of finding precise answers to your questions from a knowledgeable community of experts.
Sagot :
Para resolver la desigualdad [tex]\( -x^2 - 4x < -5 \)[/tex], sigue estos pasos:
### Paso 1: Reescribir la desigualdad como una ecuación
Primero, reescribimos la desigualdad como una ecuación para encontrar los puntos límites:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -5 \][/tex]
### Paso 2: Resolver la ecuación cuadrática
Reorganizamos la ecuación cuadrática a la forma estándar [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x + 5 = 0 \][/tex]
Multiplicamos por [tex]\(-1\)[/tex] para simplificar el manejo de la ecuación:
[tex]\[ x^2 + 4x - 5 = 0 \][/tex]
Ahora, usamos la fórmula cuadrática [tex]\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)[/tex], donde [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 4\)[/tex] y [tex]\(c = -5\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm 6}{2} \][/tex]
Esto nos da dos soluciones:
[tex]\[ x = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \][/tex]
Por lo tanto, los puntos límites son [tex]\(x = -5\)[/tex] y [tex]\(x = 1\)[/tex].
### Paso 3: Analizar los intervalos
Con los puntos límites [tex]\(x = -5\)[/tex] y [tex]\(x = 1\)[/tex], dividimos la recta numérica en tres intervalos:
1. [tex]\((-\infty, -5)\)[/tex]
2. [tex]\((-5, 1)\)[/tex]
3. [tex]\((1, \infty)\)[/tex]
### Paso 4: Probar puntos en cada intervalo
Probamos puntos de prueba en cada intervalo para ver si la desigualdad se cumple.
Intervalo [tex]\((-\infty, -5)\)[/tex]:
Eligeremos un punto [tex]\( x = -6 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -(-6)^2 - 4(-6) = -36 + 24 = -12 \][/tex]
Comprobamos si [tex]\(-12 < -5\)[/tex]:
[tex]\[ \text{Sí, esto es correcto.} \][/tex]
Intervalo [tex]\((-5, 1)\)[/tex]:
Eligeremos un punto [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -(0)^2 - 4(0) = 0 \][/tex]
Comprobamos si [tex]\(0 < -5\)[/tex]:
[tex]\[ \text{No, esto es falso.} \][/tex]
Intervalo [tex]\((1, \infty)\)[/tex]:
Eligeremos un punto [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -(2)^2 - 4(2) = -4 - 8 = -12 \][/tex]
Comprobamos si [tex]\(-12 < -5\)[/tex]:
[tex]\[ \text{Sí, esto es correcto.} \][/tex]
### Paso 5: Interpretar los resultados
Nos damos cuenta de que la desigualdad [tex]\(-x^2 - 4x < -5\)[/tex] es cierta en los intervalos [tex]\((-\infty, -5)\)[/tex] y [tex]\((1, \infty)\)[/tex]. Los puntos límites [tex]\(x = -5\)[/tex] y [tex]\(x = 1\)[/tex] no se incluyen, ya que en esos puntos la desigualdad se convierte en una igualdad.
### Conclusión
La solución para la desigualdad [tex]\( -x^2 - 4x < -5 \)[/tex] es:
[tex]\[ x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty) \][/tex]
### Paso 1: Reescribir la desigualdad como una ecuación
Primero, reescribimos la desigualdad como una ecuación para encontrar los puntos límites:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -5 \][/tex]
### Paso 2: Resolver la ecuación cuadrática
Reorganizamos la ecuación cuadrática a la forma estándar [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x + 5 = 0 \][/tex]
Multiplicamos por [tex]\(-1\)[/tex] para simplificar el manejo de la ecuación:
[tex]\[ x^2 + 4x - 5 = 0 \][/tex]
Ahora, usamos la fórmula cuadrática [tex]\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)[/tex], donde [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 4\)[/tex] y [tex]\(c = -5\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm 6}{2} \][/tex]
Esto nos da dos soluciones:
[tex]\[ x = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \][/tex]
Por lo tanto, los puntos límites son [tex]\(x = -5\)[/tex] y [tex]\(x = 1\)[/tex].
### Paso 3: Analizar los intervalos
Con los puntos límites [tex]\(x = -5\)[/tex] y [tex]\(x = 1\)[/tex], dividimos la recta numérica en tres intervalos:
1. [tex]\((-\infty, -5)\)[/tex]
2. [tex]\((-5, 1)\)[/tex]
3. [tex]\((1, \infty)\)[/tex]
### Paso 4: Probar puntos en cada intervalo
Probamos puntos de prueba en cada intervalo para ver si la desigualdad se cumple.
Intervalo [tex]\((-\infty, -5)\)[/tex]:
Eligeremos un punto [tex]\( x = -6 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -(-6)^2 - 4(-6) = -36 + 24 = -12 \][/tex]
Comprobamos si [tex]\(-12 < -5\)[/tex]:
[tex]\[ \text{Sí, esto es correcto.} \][/tex]
Intervalo [tex]\((-5, 1)\)[/tex]:
Eligeremos un punto [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -(0)^2 - 4(0) = 0 \][/tex]
Comprobamos si [tex]\(0 < -5\)[/tex]:
[tex]\[ \text{No, esto es falso.} \][/tex]
Intervalo [tex]\((1, \infty)\)[/tex]:
Eligeremos un punto [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -(2)^2 - 4(2) = -4 - 8 = -12 \][/tex]
Comprobamos si [tex]\(-12 < -5\)[/tex]:
[tex]\[ \text{Sí, esto es correcto.} \][/tex]
### Paso 5: Interpretar los resultados
Nos damos cuenta de que la desigualdad [tex]\(-x^2 - 4x < -5\)[/tex] es cierta en los intervalos [tex]\((-\infty, -5)\)[/tex] y [tex]\((1, \infty)\)[/tex]. Los puntos límites [tex]\(x = -5\)[/tex] y [tex]\(x = 1\)[/tex] no se incluyen, ya que en esos puntos la desigualdad se convierte en una igualdad.
### Conclusión
La solución para la desigualdad [tex]\( -x^2 - 4x < -5 \)[/tex] es:
[tex]\[ x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty) \][/tex]
We appreciate your time. Please revisit us for more reliable answers to any questions you may have. Thank you for your visit. We're committed to providing you with the best information available. Return anytime for more. We're glad you chose Westonci.ca. Revisit us for updated answers from our knowledgeable team.
