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Sagot :
Claro, vamos a dibujar las funciones para cada caso detalladamente, de acuerdo a las condiciones dadas.
### Caso a. Función decreciente
Una función decreciente satisface la condición [tex]\( f(x_1) \geq f(x_2) \)[/tex] si [tex]\( x_1 \leq x_2 \)[/tex] para todos [tex]\( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \)[/tex]. Un ejemplo simple es:
[tex]\[ f(x) = -x \][/tex]
Esta función es lineal, y gráficamente representa una línea recta con pendiente negativa. Decrece de manera constante a medida que [tex]\( x \)[/tex] aumenta.
```
|
| .
| .
| .
| .
| .
| .
|------------>
|.
|
```
### Caso b. Creciente en [tex]\((-∞, 2]\)[/tex], decreciente en [tex]\([2, 4]\)[/tex] y constante en [tex]\([4, +∞)\)[/tex]
Aquí necesitamos especificar una función que tenga diferentes comportamientos en esos intervalos:
1. Creciente en [tex]\( (-∞, 2] \)[/tex]: Por ejemplo, [tex]\( f(x) = x + 1 \)[/tex]
2. Decreciente en [tex]\( [2, 4] \)[/tex]: Por ejemplo, [tex]\( f(x) = -x + 3 \)[/tex]
3. Constante en [tex]\( [4, +∞) \)[/tex]: Tomamos [tex]\( f(x) = -1 \)[/tex]
```
f(x)
3|----.
| /
| /
| /
1.5 |/
| -\
-1|--|----|----|----|----| x
-∞ 2 4
```
### Caso c. Constante en [tex]\(\mathbb{R} - [-2, 3]\)[/tex] y decreciente en [tex]\([-2, 3]\)[/tex]
Para este caso, descompongamos la función en dos partes:
1. Constante en [tex]\(\mathbb{R} - [-2, 3]\)[/tex]: Por ejemplo, [tex]\( f(x) = 0 \)[/tex] fuera del intervalo [tex]\([-2, 3]\)[/tex]
2. Decreciente en [tex]\([-2, 3]\)[/tex]: Por ejemplo, [tex]\( f(x) = -x + 2 \)[/tex] en el intervalo [tex]\([-2, 3]\)[/tex]
```
f(x)
2|---.
| /
| /
1.5|/
|
|
0.5 |--------|
-∞ 3
```
### Caso d. Constante a trozos
En este caso necesitamos una función que sea constante en intervalos específicos:
1. Constante en [tex]\((-\infty, 1]\)[/tex]: Por ejemplo, [tex]\( f(x) = 2 \)[/tex] para [tex]\( x \leq 1 \)[/tex]
2. Constante en [tex]\((1, 3]\)[/tex]: Por ejemplo, [tex]\( f(x) = -1 \)[/tex] para [tex]\( 1 < x \leq 3 \)[/tex]
3. Constante en [tex]\((3, +\infty)\)[/tex]: Por ejemplo, [tex]\( f(x) = 4 \)[/tex] para [tex]\( x > 3 \)[/tex]
```
f(x)
4| .
|
|
-1| .
|--------|
-2 1 3
```
En resumen, hemos descrito y graficado ejemplos de funciones que cumplen con las condiciones dadas en cada caso. Estos gráficos ayudan a visualizar cómo se comporta cada función en sus respectivos intervalos.
### Caso a. Función decreciente
Una función decreciente satisface la condición [tex]\( f(x_1) \geq f(x_2) \)[/tex] si [tex]\( x_1 \leq x_2 \)[/tex] para todos [tex]\( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \)[/tex]. Un ejemplo simple es:
[tex]\[ f(x) = -x \][/tex]
Esta función es lineal, y gráficamente representa una línea recta con pendiente negativa. Decrece de manera constante a medida que [tex]\( x \)[/tex] aumenta.
```
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| .
| .
| .
| .
| .
| .
|------------>
|.
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### Caso b. Creciente en [tex]\((-∞, 2]\)[/tex], decreciente en [tex]\([2, 4]\)[/tex] y constante en [tex]\([4, +∞)\)[/tex]
Aquí necesitamos especificar una función que tenga diferentes comportamientos en esos intervalos:
1. Creciente en [tex]\( (-∞, 2] \)[/tex]: Por ejemplo, [tex]\( f(x) = x + 1 \)[/tex]
2. Decreciente en [tex]\( [2, 4] \)[/tex]: Por ejemplo, [tex]\( f(x) = -x + 3 \)[/tex]
3. Constante en [tex]\( [4, +∞) \)[/tex]: Tomamos [tex]\( f(x) = -1 \)[/tex]
```
f(x)
3|----.
| /
| /
| /
1.5 |/
| -\
-1|--|----|----|----|----| x
-∞ 2 4
```
### Caso c. Constante en [tex]\(\mathbb{R} - [-2, 3]\)[/tex] y decreciente en [tex]\([-2, 3]\)[/tex]
Para este caso, descompongamos la función en dos partes:
1. Constante en [tex]\(\mathbb{R} - [-2, 3]\)[/tex]: Por ejemplo, [tex]\( f(x) = 0 \)[/tex] fuera del intervalo [tex]\([-2, 3]\)[/tex]
2. Decreciente en [tex]\([-2, 3]\)[/tex]: Por ejemplo, [tex]\( f(x) = -x + 2 \)[/tex] en el intervalo [tex]\([-2, 3]\)[/tex]
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f(x)
2|---.
| /
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1.5|/
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0.5 |--------|
-∞ 3
```
### Caso d. Constante a trozos
En este caso necesitamos una función que sea constante en intervalos específicos:
1. Constante en [tex]\((-\infty, 1]\)[/tex]: Por ejemplo, [tex]\( f(x) = 2 \)[/tex] para [tex]\( x \leq 1 \)[/tex]
2. Constante en [tex]\((1, 3]\)[/tex]: Por ejemplo, [tex]\( f(x) = -1 \)[/tex] para [tex]\( 1 < x \leq 3 \)[/tex]
3. Constante en [tex]\((3, +\infty)\)[/tex]: Por ejemplo, [tex]\( f(x) = 4 \)[/tex] para [tex]\( x > 3 \)[/tex]
```
f(x)
4| .
|
|
-1| .
|--------|
-2 1 3
```
En resumen, hemos descrito y graficado ejemplos de funciones que cumplen con las condiciones dadas en cada caso. Estos gráficos ayudan a visualizar cómo se comporta cada función en sus respectivos intervalos.
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