Para resolver la expresión [tex]\(\sqrt{(x+5)(5-x)+(x+3)(x-3)}\)[/tex] y evaluarla en [tex]\(x = 0\)[/tex], sigamos los siguientes pasos:
1. Expandir cada término dentro de la raíz:
Primero, expandimos [tex]\((x+5)(5-x)\)[/tex]:
[tex]\[
(x+5)(5-x) = x \cdot 5 + x \cdot (-x) + 5 \cdot 5 + 5 \cdot (-x) = 5x - x^2 + 25 - 5x = -x^2 + 25
\][/tex]
Luego, expandimos [tex]\((x+3)(x-3)\)[/tex]:
[tex]\[
(x+3)(x-3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-3) = x^2 - 3x + 3x - 9 = x^2 - 9
\][/tex]
2. Sumar las expresiones expandidas:
Sumamos [tex]\(-x^2 + 25\)[/tex] y [tex]\(x^2 - 9\)[/tex]:
[tex]\[
(-x^2 + 25) + (x^2 - 9) = -x^2 + x^2 + 25 - 9 = 16
\][/tex]
Observamos que las [tex]\(x^2\)[/tex] se cancelan, y solo nos quedamos con una constante:
[tex]\[
-x^2 + x^2 + 16 = 16
\][/tex]
3. Simplificar la raíz cuadrada:
La expresión dentro de la raíz cuadrada ya es una constante:
[tex]\[
\sqrt{16}
\][/tex]
4. Calcular la raíz cuadrada de 16:
Sabemos que:
[tex]\[
\sqrt{16} = 4
\][/tex]
Por lo tanto, al evaluar la expresión original, obtendremos:
[tex]\[
\sqrt{(x+5)(5-x)+(x+3)(x-3)} = 4
\][/tex]
La respuesta correcta es:
[tex]\[
\boxed{4}
\][/tex]
