Claro! Vamos resolver esta questão passo a passo.
Temos um triângulo com dois lados e o ângulo entre eles dados:
- Lado a = √3 cm
- Lado b = 4 m
- Ângulo entre a e b = 30°
Primeiro, é importante observar que as unidades de medida dos lados são diferentes. Vamos converter o lado b de metros para centímetros:
- 1 metro tem 100 centímetros
- Então, 4 metros equivalem a 400 centímetros.
Agora temos:
- Lado a = √3 cm
- Lado b = 400 cm
Usaremos a Lei dos Cossenos para encontrar a medida do terceiro lado do triângulo. A Lei dos Cossenos é dada pela fórmula:
[tex]\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta) \][/tex]
Onde:
- [tex]\( c \)[/tex] é o comprimento do terceiro lado que queremos encontrar,
- [tex]\( \theta \)[/tex] é o ângulo entre os lados a e b.
Vamos substituir os valores dados na fórmula:
[tex]\[ a = \sqrt{3} \][/tex]
[tex]\[ b = 400 \][/tex]
[tex]\[ \theta = 30° \][/tex]
Primeiro, convertamos o ângulo de graus para radianos, pois os cálculos trigonométricos são geralmente feitos em radianos:
[tex]\[ 30° = \frac{\pi}{6} \; \text{radianos} \; (\approx 0.5236 \; \text{radianos}) \][/tex]
Agora, aplicamos os valores na fórmula da Lei dos Cossenos:
[tex]\[ c^2 = (\sqrt{3})^2 + (400)^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 400 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \][/tex]
Sabendo que:
[tex]\[ (\sqrt{3})^2 = 3 \][/tex]
[tex]\[ (400)^2 = 160000 \][/tex]
[tex]\[ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \][/tex]
Então, substituindo esses valores temos:
[tex]\[ c^2 = 3 + 160000 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \][/tex]
[tex]\[ c^2 = 3 + 160000 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \][/tex]
[tex]\[ c^2 = 3 + 160000 - 2 \cdot 400 \cdot \frac{3}{2} \][/tex]
[tex]\[ c^2 = 3 + 160000 - 400 \cdot 3 \][/tex]
[tex]\[ c^2 = 3 + 160000 - 1200 \][/tex]
[tex]\[ c^2 = 3 + 158800 \][/tex]
[tex]\[ c^2 = 158803 \][/tex]
Para encontrar o valor de [tex]\( c \)[/tex], tiramos a raiz quadrada dos dois lados da equação:
[tex]\[ c = \sqrt{158803} \][/tex]
[tex]\[ c \approx 398.50 \, \text{cm} \][/tex]
Portanto, a medida do terceiro lado deste triângulo é aproximadamente 398,50 cm.
