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Sagot :
¡Claro! Vamos a resolver esto paso a paso:
### a) La velocidad angular final:
La velocidad angular final ([tex]\(\omega_f\)[/tex]) se calcula como la suma de la velocidad angular inicial ([tex]\(\omega_i\)[/tex]) y el producto de la aceleración angular ([tex]\(\alpha\)[/tex]) por el tiempo ([tex]\(t\)[/tex]).
[tex]\[ \omega_f = \omega_i + \alpha \cdot t \][/tex]
Dado:
- [tex]\(\omega_i = 4 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\)[/tex]
- [tex]\(\alpha = 1 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}^2}\)[/tex]
- [tex]\(t = 5 \ \text{s}\)[/tex]
[tex]\[ \omega_f = 4 + 1 \cdot 5 = 9 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}} \][/tex]
Entonces, la velocidad angular final es [tex]\(9 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\)[/tex].
### b) La velocidad angular media:
La velocidad angular media ([tex]\(\overline{\omega}\)[/tex]) es el promedio de la velocidad angular inicial y la velocidad angular final.
[tex]\[ \overline{\omega} = \frac{\omega_i + \omega_f}{2} \][/tex]
[tex]\[ \overline{\omega} = \frac{4 + 9}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}} \][/tex]
Entonces, la velocidad angular media es [tex]\(6.5 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\)[/tex].
### c) El desplazamiento angular:
El desplazamiento angular ([tex]\(\theta\)[/tex]) se obtiene usando la ecuación del movimiento angular con aceleración constante:
[tex]\[ \theta = \omega_i \cdot t + \frac{1}{2} \alpha \cdot t^2 \][/tex]
[tex]\[ \theta = 4 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 5^2 \][/tex]
[tex]\[ \theta = 20 + \frac{1}{2} \cdot 25 = 20 + 12.5 = 32.5 \ \text{rad} \][/tex]
Entonces, el desplazamiento angular es [tex]\(32.5 \ \text{rad}\)[/tex].
### d) La posición angular inicial:
La posición angular inicial ([tex]\(\theta_i\)[/tex]) se calcula a partir del punto inicial dado en coordenadas cartesianas [tex]\((x, y)\)[/tex] usando la función arco tangente:
[tex]\[ \theta_i = \tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right) \][/tex]
Dado que el punto inicial es [tex]\((5, -2)\)[/tex]:
[tex]\[ \theta_i = \tan^{-1} \left(\frac{-2}{5}\right) \][/tex]
[tex]\(\theta_i \approx -0.3805 \ \text{rad}\)[/tex] (alrededor de [tex]\(-21.8^\circ\)[/tex])
Entonces, la posición angular inicial es aproximadamente [tex]\(-0.3805 \ \text{rad}\)[/tex].
### e) La posición angular final:
La posición angular final ([tex]\(\theta_f\)[/tex]) se obtiene sumando la posición angular inicial al desplazamiento angular:
[tex]\[ \theta_f = \theta_i + \theta \][/tex]
[tex]\[ \theta_f = -0.3805 + 32.5 = 32.1195 \ \text{rad} \][/tex]
Entonces, la posición angular final es aproximadamente [tex]\(32.1195 \ \text{rad}\)[/tex].
En resumen:
- La velocidad angular final es [tex]\(9 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\)[/tex].
- La velocidad angular media es [tex]\(6.5 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\)[/tex].
- El desplazamiento angular es [tex]\(32.5 \ \text{rad}\)[/tex].
- La posición angular inicial es [tex]\(-0.3805 \ \text{rad}\)[/tex].
- La posición angular final es [tex]\(32.1195 \ \text{rad}\)[/tex].
### a) La velocidad angular final:
La velocidad angular final ([tex]\(\omega_f\)[/tex]) se calcula como la suma de la velocidad angular inicial ([tex]\(\omega_i\)[/tex]) y el producto de la aceleración angular ([tex]\(\alpha\)[/tex]) por el tiempo ([tex]\(t\)[/tex]).
[tex]\[ \omega_f = \omega_i + \alpha \cdot t \][/tex]
Dado:
- [tex]\(\omega_i = 4 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\)[/tex]
- [tex]\(\alpha = 1 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}^2}\)[/tex]
- [tex]\(t = 5 \ \text{s}\)[/tex]
[tex]\[ \omega_f = 4 + 1 \cdot 5 = 9 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}} \][/tex]
Entonces, la velocidad angular final es [tex]\(9 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\)[/tex].
### b) La velocidad angular media:
La velocidad angular media ([tex]\(\overline{\omega}\)[/tex]) es el promedio de la velocidad angular inicial y la velocidad angular final.
[tex]\[ \overline{\omega} = \frac{\omega_i + \omega_f}{2} \][/tex]
[tex]\[ \overline{\omega} = \frac{4 + 9}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}} \][/tex]
Entonces, la velocidad angular media es [tex]\(6.5 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\)[/tex].
### c) El desplazamiento angular:
El desplazamiento angular ([tex]\(\theta\)[/tex]) se obtiene usando la ecuación del movimiento angular con aceleración constante:
[tex]\[ \theta = \omega_i \cdot t + \frac{1}{2} \alpha \cdot t^2 \][/tex]
[tex]\[ \theta = 4 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 5^2 \][/tex]
[tex]\[ \theta = 20 + \frac{1}{2} \cdot 25 = 20 + 12.5 = 32.5 \ \text{rad} \][/tex]
Entonces, el desplazamiento angular es [tex]\(32.5 \ \text{rad}\)[/tex].
### d) La posición angular inicial:
La posición angular inicial ([tex]\(\theta_i\)[/tex]) se calcula a partir del punto inicial dado en coordenadas cartesianas [tex]\((x, y)\)[/tex] usando la función arco tangente:
[tex]\[ \theta_i = \tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right) \][/tex]
Dado que el punto inicial es [tex]\((5, -2)\)[/tex]:
[tex]\[ \theta_i = \tan^{-1} \left(\frac{-2}{5}\right) \][/tex]
[tex]\(\theta_i \approx -0.3805 \ \text{rad}\)[/tex] (alrededor de [tex]\(-21.8^\circ\)[/tex])
Entonces, la posición angular inicial es aproximadamente [tex]\(-0.3805 \ \text{rad}\)[/tex].
### e) La posición angular final:
La posición angular final ([tex]\(\theta_f\)[/tex]) se obtiene sumando la posición angular inicial al desplazamiento angular:
[tex]\[ \theta_f = \theta_i + \theta \][/tex]
[tex]\[ \theta_f = -0.3805 + 32.5 = 32.1195 \ \text{rad} \][/tex]
Entonces, la posición angular final es aproximadamente [tex]\(32.1195 \ \text{rad}\)[/tex].
En resumen:
- La velocidad angular final es [tex]\(9 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\)[/tex].
- La velocidad angular media es [tex]\(6.5 \ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\)[/tex].
- El desplazamiento angular es [tex]\(32.5 \ \text{rad}\)[/tex].
- La posición angular inicial es [tex]\(-0.3805 \ \text{rad}\)[/tex].
- La posición angular final es [tex]\(32.1195 \ \text{rad}\)[/tex].
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