Para determinar el dominio de la función [tex]\( f(x) = \frac{2x + 3}{x(x - 2)} \)[/tex], debemos identificar los valores de [tex]\( x \)[/tex] para los cuales la función está bien definida. Esto significa que necesitamos encontrar los valores de [tex]\( x \)[/tex] para los cuales el denominador no es igual a cero, ya que la división por cero no está definida.
1. Identificar el denominador:
La función está dada por:
[tex]\[
f(x) = \frac{2x + 3}{x(x - 2)}
\][/tex]
El denominador de la función es [tex]\( x(x - 2) \)[/tex].
2. Encontrar los valores que hacen el denominador cero:
Para determinar los valores de [tex]\( x \)[/tex] que hacen que el denominador sea cero, resolvemos la ecuación:
[tex]\[
x(x - 2) = 0
\][/tex]
Esta es una ecuación cuadrática que se puede resolver factorizando:
[tex]\[
x(x - 2) = 0
\][/tex]
3. Resolver la ecuación factorizada:
La ecuación [tex]\( x(x - 2) = 0 \)[/tex] se satisface cuando cualquiera de los factores es igual a cero:
[tex]\[
x = 0 \quad \text{ó} \quad x - 2 = 0
\][/tex]
Resolviendo cada una de estas ecuaciones se obtiene:
[tex]\[
x = 0 \quad \text{ó} \quad x = 2
\][/tex]
4. Conclusión sobre el dominio:
Los valores [tex]\( x = 0 \)[/tex] y [tex]\( x = 2 \)[/tex] hacen que el denominador sea cero, por lo tanto, debemos excluir estos valores del dominio de la función.
Entonces, el dominio de [tex]\( f(x) \)[/tex] está compuesto por todos los números reales excepto [tex]\( 0 \)[/tex] y [tex]\( 2 \)[/tex].
En notación de intervalos, el dominio se expresa como:
[tex]\[
\text{Dom}(f) = (-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)
\][/tex]
Por lo tanto, el dominio de la función [tex]\( f(x) = \frac{2x + 3}{x(x - 2)} \)[/tex] excluye los valores 0 y 2.
