Westonci.ca is the ultimate Q&A platform, offering detailed and reliable answers from a knowledgeable community. Discover reliable solutions to your questions from a wide network of experts on our comprehensive Q&A platform. Get precise and detailed answers to your questions from a knowledgeable community of experts on our Q&A platform.
Sagot :
Claro, procedamos con el problema que se plantea.
Queremos encontrar el límite de la función [tex]\( y = \frac{x-2}{x^2-4} \)[/tex] cuando [tex]\( x \to 2 \)[/tex].
Primero vamos a simplificar la expresión. Observemos que [tex]\( x^2 - 4 \)[/tex] se puede factorizar como [tex]\( (x-2)(x+2) \)[/tex]. Entonces, la función original se puede escribir como:
[tex]\[ y = \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \][/tex]
Para [tex]\( x \neq 2 \)[/tex], podemos cancelar el [tex]\( x-2 \)[/tex] en el numerador y denominador:
[tex]\[ y = \frac{1}{x+2} \][/tex]
Por lo tanto, nuestra función simplificada es:
[tex]\[ y = \frac{1}{x+2} \][/tex]
Podemos ahora calcular el límite cuando [tex]\( x \to 2 \)[/tex]:
[tex]\[ \lim_{x \to 2} \frac{1}{x+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} \][/tex]
### Tabla de valores
Para hacer una tabla de valores, tomemos algunos puntos cercanos a [tex]\( x = 2 \)[/tex].
| [tex]\( x \)[/tex] | [tex]\( y = \frac{1}{x+2} \)[/tex] |
|--------|--------------------------|
| 1.9 | [tex]\(\frac{1}{1.9+2} = \frac{1}{3.9} \approx 0.256\)[/tex] |
| 1.99 | [tex]\(\frac{1}{1.99+2} = \frac{1}{3.99} \approx 0.251\)[/tex] |
| 2.0 | [tex]\(\frac{1}{2.0+2} = \frac{1}{4.0} = 0.25\)[/tex] |
| 2.01 | [tex]\(\frac{1}{2.01+2} = \frac{1}{4.01} \approx 0.249\)[/tex] |
| 2.1 | [tex]\(\frac{1}{2.1+2} = \frac{1}{4.1} \approx 0.244\)[/tex] |
### Gráfica
Para la gráfica, podemos trazar los puntos obtenidos en la tabla en un sistema de coordenadas.
1. En el eje [tex]\( x \)[/tex], marca los puntos [tex]\( 1.9, 1.99, 2.0, 2.01, 2.1 \)[/tex].
2. En el eje [tex]\( y \)[/tex], marca los puntos [tex]\( 0.256, 0.251, 0.25, 0.249, 0.244 \)[/tex].
3. Conecta los puntos para tener una idea de cómo se comporta la función a medida que [tex]\( x \)[/tex] se acerca a 2.
```plaintext
y-axis
|
|
|
|
|
|_ _ _ ___________ x-axis
```
Las coordenadas dadas se aproximan a la curva de la función [tex]\( y = \frac{1}{x+2} \)[/tex], mostrando que, efectivamente, cuando [tex]\( x \to 2 \)[/tex], el valor de [tex]\( y \)[/tex] se aproxima a [tex]\( \frac{1}{4} \)[/tex].
Así que, el límite de la función [tex]\( y = \frac{x-2}{x^2-4} \)[/tex] cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a 2 es [tex]\( \frac{1}{4} \)[/tex].
Queremos encontrar el límite de la función [tex]\( y = \frac{x-2}{x^2-4} \)[/tex] cuando [tex]\( x \to 2 \)[/tex].
Primero vamos a simplificar la expresión. Observemos que [tex]\( x^2 - 4 \)[/tex] se puede factorizar como [tex]\( (x-2)(x+2) \)[/tex]. Entonces, la función original se puede escribir como:
[tex]\[ y = \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \][/tex]
Para [tex]\( x \neq 2 \)[/tex], podemos cancelar el [tex]\( x-2 \)[/tex] en el numerador y denominador:
[tex]\[ y = \frac{1}{x+2} \][/tex]
Por lo tanto, nuestra función simplificada es:
[tex]\[ y = \frac{1}{x+2} \][/tex]
Podemos ahora calcular el límite cuando [tex]\( x \to 2 \)[/tex]:
[tex]\[ \lim_{x \to 2} \frac{1}{x+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} \][/tex]
### Tabla de valores
Para hacer una tabla de valores, tomemos algunos puntos cercanos a [tex]\( x = 2 \)[/tex].
| [tex]\( x \)[/tex] | [tex]\( y = \frac{1}{x+2} \)[/tex] |
|--------|--------------------------|
| 1.9 | [tex]\(\frac{1}{1.9+2} = \frac{1}{3.9} \approx 0.256\)[/tex] |
| 1.99 | [tex]\(\frac{1}{1.99+2} = \frac{1}{3.99} \approx 0.251\)[/tex] |
| 2.0 | [tex]\(\frac{1}{2.0+2} = \frac{1}{4.0} = 0.25\)[/tex] |
| 2.01 | [tex]\(\frac{1}{2.01+2} = \frac{1}{4.01} \approx 0.249\)[/tex] |
| 2.1 | [tex]\(\frac{1}{2.1+2} = \frac{1}{4.1} \approx 0.244\)[/tex] |
### Gráfica
Para la gráfica, podemos trazar los puntos obtenidos en la tabla en un sistema de coordenadas.
1. En el eje [tex]\( x \)[/tex], marca los puntos [tex]\( 1.9, 1.99, 2.0, 2.01, 2.1 \)[/tex].
2. En el eje [tex]\( y \)[/tex], marca los puntos [tex]\( 0.256, 0.251, 0.25, 0.249, 0.244 \)[/tex].
3. Conecta los puntos para tener una idea de cómo se comporta la función a medida que [tex]\( x \)[/tex] se acerca a 2.
```plaintext
y-axis
|
|
|
|
|
|_ _ _ ___________ x-axis
```
Las coordenadas dadas se aproximan a la curva de la función [tex]\( y = \frac{1}{x+2} \)[/tex], mostrando que, efectivamente, cuando [tex]\( x \to 2 \)[/tex], el valor de [tex]\( y \)[/tex] se aproxima a [tex]\( \frac{1}{4} \)[/tex].
Así que, el límite de la función [tex]\( y = \frac{x-2}{x^2-4} \)[/tex] cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a 2 es [tex]\( \frac{1}{4} \)[/tex].
Thank you for trusting us with your questions. We're here to help you find accurate answers quickly and efficiently. We hope our answers were useful. Return anytime for more information and answers to any other questions you have. Thank you for trusting Westonci.ca. Don't forget to revisit us for more accurate and insightful answers.
