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Sagot :
Claro, procedamos con el problema que se plantea.
Queremos encontrar el límite de la función [tex]\( y = \frac{x-2}{x^2-4} \)[/tex] cuando [tex]\( x \to 2 \)[/tex].
Primero vamos a simplificar la expresión. Observemos que [tex]\( x^2 - 4 \)[/tex] se puede factorizar como [tex]\( (x-2)(x+2) \)[/tex]. Entonces, la función original se puede escribir como:
[tex]\[ y = \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \][/tex]
Para [tex]\( x \neq 2 \)[/tex], podemos cancelar el [tex]\( x-2 \)[/tex] en el numerador y denominador:
[tex]\[ y = \frac{1}{x+2} \][/tex]
Por lo tanto, nuestra función simplificada es:
[tex]\[ y = \frac{1}{x+2} \][/tex]
Podemos ahora calcular el límite cuando [tex]\( x \to 2 \)[/tex]:
[tex]\[ \lim_{x \to 2} \frac{1}{x+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} \][/tex]
### Tabla de valores
Para hacer una tabla de valores, tomemos algunos puntos cercanos a [tex]\( x = 2 \)[/tex].
| [tex]\( x \)[/tex] | [tex]\( y = \frac{1}{x+2} \)[/tex] |
|--------|--------------------------|
| 1.9 | [tex]\(\frac{1}{1.9+2} = \frac{1}{3.9} \approx 0.256\)[/tex] |
| 1.99 | [tex]\(\frac{1}{1.99+2} = \frac{1}{3.99} \approx 0.251\)[/tex] |
| 2.0 | [tex]\(\frac{1}{2.0+2} = \frac{1}{4.0} = 0.25\)[/tex] |
| 2.01 | [tex]\(\frac{1}{2.01+2} = \frac{1}{4.01} \approx 0.249\)[/tex] |
| 2.1 | [tex]\(\frac{1}{2.1+2} = \frac{1}{4.1} \approx 0.244\)[/tex] |
### Gráfica
Para la gráfica, podemos trazar los puntos obtenidos en la tabla en un sistema de coordenadas.
1. En el eje [tex]\( x \)[/tex], marca los puntos [tex]\( 1.9, 1.99, 2.0, 2.01, 2.1 \)[/tex].
2. En el eje [tex]\( y \)[/tex], marca los puntos [tex]\( 0.256, 0.251, 0.25, 0.249, 0.244 \)[/tex].
3. Conecta los puntos para tener una idea de cómo se comporta la función a medida que [tex]\( x \)[/tex] se acerca a 2.
```plaintext
y-axis
|
|
|
|
|
|_ _ _ ___________ x-axis
```
Las coordenadas dadas se aproximan a la curva de la función [tex]\( y = \frac{1}{x+2} \)[/tex], mostrando que, efectivamente, cuando [tex]\( x \to 2 \)[/tex], el valor de [tex]\( y \)[/tex] se aproxima a [tex]\( \frac{1}{4} \)[/tex].
Así que, el límite de la función [tex]\( y = \frac{x-2}{x^2-4} \)[/tex] cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a 2 es [tex]\( \frac{1}{4} \)[/tex].
Queremos encontrar el límite de la función [tex]\( y = \frac{x-2}{x^2-4} \)[/tex] cuando [tex]\( x \to 2 \)[/tex].
Primero vamos a simplificar la expresión. Observemos que [tex]\( x^2 - 4 \)[/tex] se puede factorizar como [tex]\( (x-2)(x+2) \)[/tex]. Entonces, la función original se puede escribir como:
[tex]\[ y = \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \][/tex]
Para [tex]\( x \neq 2 \)[/tex], podemos cancelar el [tex]\( x-2 \)[/tex] en el numerador y denominador:
[tex]\[ y = \frac{1}{x+2} \][/tex]
Por lo tanto, nuestra función simplificada es:
[tex]\[ y = \frac{1}{x+2} \][/tex]
Podemos ahora calcular el límite cuando [tex]\( x \to 2 \)[/tex]:
[tex]\[ \lim_{x \to 2} \frac{1}{x+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} \][/tex]
### Tabla de valores
Para hacer una tabla de valores, tomemos algunos puntos cercanos a [tex]\( x = 2 \)[/tex].
| [tex]\( x \)[/tex] | [tex]\( y = \frac{1}{x+2} \)[/tex] |
|--------|--------------------------|
| 1.9 | [tex]\(\frac{1}{1.9+2} = \frac{1}{3.9} \approx 0.256\)[/tex] |
| 1.99 | [tex]\(\frac{1}{1.99+2} = \frac{1}{3.99} \approx 0.251\)[/tex] |
| 2.0 | [tex]\(\frac{1}{2.0+2} = \frac{1}{4.0} = 0.25\)[/tex] |
| 2.01 | [tex]\(\frac{1}{2.01+2} = \frac{1}{4.01} \approx 0.249\)[/tex] |
| 2.1 | [tex]\(\frac{1}{2.1+2} = \frac{1}{4.1} \approx 0.244\)[/tex] |
### Gráfica
Para la gráfica, podemos trazar los puntos obtenidos en la tabla en un sistema de coordenadas.
1. En el eje [tex]\( x \)[/tex], marca los puntos [tex]\( 1.9, 1.99, 2.0, 2.01, 2.1 \)[/tex].
2. En el eje [tex]\( y \)[/tex], marca los puntos [tex]\( 0.256, 0.251, 0.25, 0.249, 0.244 \)[/tex].
3. Conecta los puntos para tener una idea de cómo se comporta la función a medida que [tex]\( x \)[/tex] se acerca a 2.
```plaintext
y-axis
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|_ _ _ ___________ x-axis
```
Las coordenadas dadas se aproximan a la curva de la función [tex]\( y = \frac{1}{x+2} \)[/tex], mostrando que, efectivamente, cuando [tex]\( x \to 2 \)[/tex], el valor de [tex]\( y \)[/tex] se aproxima a [tex]\( \frac{1}{4} \)[/tex].
Así que, el límite de la función [tex]\( y = \frac{x-2}{x^2-4} \)[/tex] cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a 2 es [tex]\( \frac{1}{4} \)[/tex].
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