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Sagot :
¡Claro! Vamos a resolver este problema paso a paso.
Tenemos la función que queremos minimizar:
[tex]\[ f(x, y) = (1+x)\left(1+\frac{1}{y}\right) + (1+y)\left(1+\frac{1}{x}\right) \][/tex]
con la condición:
[tex]\[ x > 0, y > 0, \text{ además } x^2 + y^2 = 1 \][/tex]
### Paso 1: Simplificar la función
Primero, expandimos la función [tex]\(f(x, y)\)[/tex]:
[tex]\[ f(x, y) = (1+x) \left( 1+\frac{1}{y} \right) + (1+y) \left( 1+\frac{1}{x} \right) \][/tex]
[tex]\[ f(x, y) = (1+x) \left( 1 + \frac{1}{y} \right) \][/tex]
[tex]\[ = (1+x) + \frac{1+x}{y} \][/tex]
Del mismo modo:
[tex]\[ f(x,y) = (1+x) \left( 1+\frac{1}{y} \right) + (1+y) \left( 1+\frac{1}{x} \right) \][/tex]
[tex]\[ = \left( 1 + x + \frac{1}{y} + \frac{x}{y} \right) + \left( 1 + y + \frac{1}{x} + \frac{y}{x} \right) \][/tex]
[tex]\[ = 2 + x + y + \frac{1}{y} + \frac{x}{y} + \frac{1}{x} + \frac{y}{x} \][/tex]
### Paso 2: Usar la condición
La condición es [tex]\(x^2 + y^2 = 1\)[/tex].
Podemos expresar [tex]\(y\)[/tex] en términos de [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ y = \sqrt{1 - x^2} \][/tex]
Reemplazamos [tex]\(y = \sqrt{1 - x^2}\)[/tex] en la función [tex]\(f(x, y)\)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 2 + x + \sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \][/tex]
### Paso 3: Derivar y Encontrar puntos críticos
Para minimizar [tex]\(f(x)\)[/tex], derivamos respecto a [tex]\(x\)[/tex] y buscamos los puntos críticos:
[tex]\[ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \left( 2 + x + \sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \right) \][/tex]
Derivamos término a término:
[tex]\[ \frac{d}{dx} (2) = 0 \][/tex]
[tex]\[ \frac{d}{dx} (x) = 1 \][/tex]
Para [tex]\(\sqrt{1 - x^2}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx} (\sqrt{1 - x^2}) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} \][/tex]
Para [tex]\(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \frac{x}{(1 - x^2)^{3/2}} \][/tex]
Para [tex]\(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \frac{\sqrt{1 - x^2} - x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}}}{(1 - x^2)} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{\sqrt{1 - x^2} + x^2}{1 - x^2} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \][/tex]
Para [tex]\(\frac{1}{x}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x^2} \][/tex]
Para [tex]\(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \right) = -\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^2} + \frac{-x \cdot 1}{x \sqrt{1 - x^2}} \][/tex]
[tex]\[ = -\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^2} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \][/tex]
### Paso 4: Resolver la derivada igualada a cero
Sumamos todas las derivadas:
[tex]\[ 1 - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{(1 - x^2)^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{1}{x^2}- \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^2} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \][/tex]
No haremos toda la algebra aquí, pero al resolver la ecuación obtenemos:
Al resolver [tex]\(f'(x,) = 0\)[/tex]:
### Paso 5: Evaluar puntos críticos y resolver
Hallando posibles valores críticos y evaluando nos lleva a la solución factible (x, y) resultando en el menor [tex]\(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)[/tex], resultando en:
La función evaluada da el valor\,f(\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2\)\)=5. así tenemos
[tex]\[ \boxed{5} \][/tex]
Tenemos la función que queremos minimizar:
[tex]\[ f(x, y) = (1+x)\left(1+\frac{1}{y}\right) + (1+y)\left(1+\frac{1}{x}\right) \][/tex]
con la condición:
[tex]\[ x > 0, y > 0, \text{ además } x^2 + y^2 = 1 \][/tex]
### Paso 1: Simplificar la función
Primero, expandimos la función [tex]\(f(x, y)\)[/tex]:
[tex]\[ f(x, y) = (1+x) \left( 1+\frac{1}{y} \right) + (1+y) \left( 1+\frac{1}{x} \right) \][/tex]
[tex]\[ f(x, y) = (1+x) \left( 1 + \frac{1}{y} \right) \][/tex]
[tex]\[ = (1+x) + \frac{1+x}{y} \][/tex]
Del mismo modo:
[tex]\[ f(x,y) = (1+x) \left( 1+\frac{1}{y} \right) + (1+y) \left( 1+\frac{1}{x} \right) \][/tex]
[tex]\[ = \left( 1 + x + \frac{1}{y} + \frac{x}{y} \right) + \left( 1 + y + \frac{1}{x} + \frac{y}{x} \right) \][/tex]
[tex]\[ = 2 + x + y + \frac{1}{y} + \frac{x}{y} + \frac{1}{x} + \frac{y}{x} \][/tex]
### Paso 2: Usar la condición
La condición es [tex]\(x^2 + y^2 = 1\)[/tex].
Podemos expresar [tex]\(y\)[/tex] en términos de [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ y = \sqrt{1 - x^2} \][/tex]
Reemplazamos [tex]\(y = \sqrt{1 - x^2}\)[/tex] en la función [tex]\(f(x, y)\)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 2 + x + \sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \][/tex]
### Paso 3: Derivar y Encontrar puntos críticos
Para minimizar [tex]\(f(x)\)[/tex], derivamos respecto a [tex]\(x\)[/tex] y buscamos los puntos críticos:
[tex]\[ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \left( 2 + x + \sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \right) \][/tex]
Derivamos término a término:
[tex]\[ \frac{d}{dx} (2) = 0 \][/tex]
[tex]\[ \frac{d}{dx} (x) = 1 \][/tex]
Para [tex]\(\sqrt{1 - x^2}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx} (\sqrt{1 - x^2}) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} \][/tex]
Para [tex]\(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \frac{x}{(1 - x^2)^{3/2}} \][/tex]
Para [tex]\(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \frac{\sqrt{1 - x^2} - x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}}}{(1 - x^2)} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{\sqrt{1 - x^2} + x^2}{1 - x^2} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \][/tex]
Para [tex]\(\frac{1}{x}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x^2} \][/tex]
Para [tex]\(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \right) = -\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^2} + \frac{-x \cdot 1}{x \sqrt{1 - x^2}} \][/tex]
[tex]\[ = -\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^2} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \][/tex]
### Paso 4: Resolver la derivada igualada a cero
Sumamos todas las derivadas:
[tex]\[ 1 - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{(1 - x^2)^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{1}{x^2}- \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^2} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \][/tex]
No haremos toda la algebra aquí, pero al resolver la ecuación obtenemos:
Al resolver [tex]\(f'(x,) = 0\)[/tex]:
### Paso 5: Evaluar puntos críticos y resolver
Hallando posibles valores críticos y evaluando nos lleva a la solución factible (x, y) resultando en el menor [tex]\(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)[/tex], resultando en:
La función evaluada da el valor\,f(\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2\)\)=5. así tenemos
[tex]\[ \boxed{5} \][/tex]
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