Para determinar de forma analítica los puntos críticos y la naturaleza de estos puntos [tex]\( (máximos, mínimos o puntos de silla) \)[/tex] para la expresión [tex]\(3y - x^2 - 2x = 4y - 1\)[/tex], seguiremos los siguientes pasos:
1. Simplificación de la expresión:
Primero, simplificamos la expresión dada [tex]\(3y - x^2 - 2x - 4y + 1\)[/tex]. Combinamos términos semejantes:
[tex]\[
3y - 4y - x^2 - 2x + 1 = -y - x^2 - 2x + 1
\][/tex]
Por lo tanto, la expresión simplificada es:
[tex]\[
-x^2 - 2x - y + 1
\][/tex]
2. Cálculo de los puntos críticos:
Para encontrar los puntos críticos, necesitamos calcular las derivadas parciales de la expresión con respecto a [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex], y luego resolver el sistema de ecuaciones resultante de igualar estas derivadas a cero.
[tex]\[
f(x, y) = -x^2 - 2x - y + 1
\][/tex]
Derivadas parciales:
[tex]\[
\frac{\partial f}{\partial x} = -2x - 2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -1
\][/tex]
Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:
[tex]\[
-2x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1
\][/tex]
[tex]\[
-1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{No hay solución para } y
\][/tex]
Observamos que no hay solución real para [tex]\( y \)[/tex] que haga que ambas igualdades se cumplan simultáneamente. Por lo tanto, la ecuación no tiene puntos críticos.
3. Determinación de la naturaleza de los puntos críticos:
Dado que no se encontraron puntos críticos en el dominio real, no es posible determinar si hay máximos, mínimos o puntos de silla para la función.
Conclusión:
La simplificación y el análisis de la expresión [tex]\(3y - x^2 - 2x - 4y + 1\)[/tex] concluyen que la función final es [tex]\( -x^2 - 2x - y + 1 \)[/tex]. No hay puntos críticos, por lo que la función no presenta máximos ni mínimos en el dominio real.
