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Determine which number is greater in each pair of expressions. Avoid using a calculator.

a. [tex]$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$[/tex] ○ [tex]$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$[/tex]

b. [tex]$2^{\frac{1}{2}}$[/tex] ○ [tex]$2^{\frac{1}{3}}$[/tex]

Sagot :

GinnyAnswer
Claro, vamos a resolver cada uno de los incisos de manera detallada:

### Inciso a

Nos piden comparar las siguientes dos expresiones:
1. [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\)[/tex]
2. [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\)[/tex]

Primero, recordemos la relación de exponente fraccionario. En términos generales, un exponente fraccionario [tex]\(\left(a\right)^{\frac{1}{n}}\)[/tex] representa la raíz n-ésima de a. Aquí tenemos que comparar dos raíces:

- La primera expresión, [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\)[/tex], representa la raíz cuadrada de [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex].
- La segunda expresión, [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\)[/tex], representa la raíz cúbica de [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex].

Comparando numéricamente estas cantidades, encontramos que:

- [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \approx 0.7071067811865476\)[/tex]
- [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.7937005259840998\)[/tex]

Observamos que:

[tex]\[0.7071067811865476 < 0.7937005259840998\][/tex]

Por lo tanto, la raíz cúbica de [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex] es mayor a la raíz cuadrada de [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex].

### Inciso b

Nos piden comparar las siguientes dos expresiones:
1. [tex]\(2^{\frac{1}{2}}\)[/tex]
2. [tex]\(2^{\frac{1}{3}}\)[/tex]

En este caso, tenemos que comparar las siguientes raíces:

- La primera expresión, [tex]\(2^{\frac{1}{2}}\)[/tex], representa la raíz cuadrada de 2.
- La segunda expresión, [tex]\(2^{\frac{1}{3}}\)[/tex], representa la raíz cúbica de 2.

Comparando numéricamente estas cantidades, encontramos que:

- [tex]\(2^{\frac{1}{2}} \approx 1.4142135623730951\)[/tex]
- [tex]\(2^{\frac{1}{3}} \approx 1.2599210498948732\)[/tex]

Observamos que:

[tex]\[1.4142135623730951 > 1.2599210498948732\][/tex]

Por lo tanto, la raíz cuadrada de 2 es mayor a la raíz cúbica de 2.

### Conclusión Final

- En el inciso a, [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\)[/tex] es mayor que [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\)[/tex].
- En el inciso b, [tex]\(2^{\frac{1}{2}}\)[/tex] es mayor que [tex]\(2^{\frac{1}{3}}\)[/tex].
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