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Sagot :
Claro, vamos a derivar cada una de las funciones dadas paso a paso.
### Parte a: [tex]\( y = \frac{3x - 5}{2 - 3x} \)[/tex]
Para derivar esta función, usaremos la regla del cociente que establece que si [tex]\( y = \frac{u}{v} \)[/tex], entonces [tex]\( y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)[/tex].
1. Definimos [tex]\( u = 3x - 5 \)[/tex] y [tex]\( v = 2 - 3x \)[/tex].
2. Calculamos las derivadas [tex]\( u' \)[/tex] y [tex]\( v' \)[/tex]:
- [tex]\( u' = \frac{d}{dx}(3x - 5) = 3 \)[/tex]
- [tex]\( v' = \frac{d}{dx}(2 - 3x) = -3 \)[/tex]
3. Aplicamos la regla del cociente:
[tex]\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3(2 - 3x) - (3x - 5)(-3)}{(2 - 3x)^2} \][/tex]
4. Simplificamos el numerador:
[tex]\[ y' = \frac{3(2 - 3x) + 3(3x - 5)}{(2 - 3x)^2} = \frac{6 - 9x + 9x - 15}{(2 - 3x)^2} = \frac{6 - 15}{(2 - 3x)^2} = \frac{-9}{(2 - 3x)^2} \][/tex]
Entonces, la derivada es:
[tex]\[ y' = \frac{3}{2 - 3x} + \frac{3(3x - 5)}{(2 - 3x)^2} \][/tex]
### Parte b: [tex]\( y = \sqrt{9 - 2x} \)[/tex]
Para derivar esta función, usaremos la regla de la cadena. Dejamos [tex]\( u = 9 - 2x \)[/tex] y por lo tanto [tex]\( y = \sqrt{u} \)[/tex].
1. Derivamos [tex]\( y \)[/tex] con respecto a [tex]\( u \)[/tex]:
- [tex]\( y = u^{1/2} \)[/tex]
- [tex]\( \frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \)[/tex]
2. Derivamos [tex]\( u \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex]:
- [tex]\( u = 9 - 2x \)[/tex]
- [tex]\( \frac{du}{dx} = -2 \)[/tex]
3. Aplicamos la regla de la cadena:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{9 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{9 - 2x}} \][/tex]
Entonces, la derivada es:
[tex]\[ y' = -\frac{1}{\sqrt{9 - 2x}} \][/tex]
### Parte c: [tex]\( y = \frac{3}{7x + 1} \)[/tex]
Para derivar esta función, también usaremos la regla del cociente o, de manera más simple, la regla de la potencia después de reescribir la función como [tex]\( y = 3(7x + 1)^{-1} \)[/tex].
1. Definimos [tex]\( u = 7x + 1 \)[/tex]:
- [tex]\( y = 3u^{-1} \)[/tex]
2. Derivamos [tex]\( y \)[/tex] con respecto a [tex]\( u \)[/tex]:
- [tex]\( \frac{dy}{du} = 3(-1)u^{-2} = -\frac{3}{u^2} \)[/tex]
3. Derivamos [tex]\( u \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex]:
- [tex]\( u = 7x + 1 \)[/tex]
- [tex]\( \frac{du}{dx} = 7 \)[/tex]
4. Aplicamos la regla de la cadena:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{3}{(7x + 1)^2} \cdot 7 = -\frac{21}{(7x + 1)^2} \][/tex]
Entonces, la derivada es:
[tex]\[ y' = -\frac{21}{(7x + 1)^2} \][/tex]
### Parte a: [tex]\( y = \frac{3x - 5}{2 - 3x} \)[/tex]
Para derivar esta función, usaremos la regla del cociente que establece que si [tex]\( y = \frac{u}{v} \)[/tex], entonces [tex]\( y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)[/tex].
1. Definimos [tex]\( u = 3x - 5 \)[/tex] y [tex]\( v = 2 - 3x \)[/tex].
2. Calculamos las derivadas [tex]\( u' \)[/tex] y [tex]\( v' \)[/tex]:
- [tex]\( u' = \frac{d}{dx}(3x - 5) = 3 \)[/tex]
- [tex]\( v' = \frac{d}{dx}(2 - 3x) = -3 \)[/tex]
3. Aplicamos la regla del cociente:
[tex]\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3(2 - 3x) - (3x - 5)(-3)}{(2 - 3x)^2} \][/tex]
4. Simplificamos el numerador:
[tex]\[ y' = \frac{3(2 - 3x) + 3(3x - 5)}{(2 - 3x)^2} = \frac{6 - 9x + 9x - 15}{(2 - 3x)^2} = \frac{6 - 15}{(2 - 3x)^2} = \frac{-9}{(2 - 3x)^2} \][/tex]
Entonces, la derivada es:
[tex]\[ y' = \frac{3}{2 - 3x} + \frac{3(3x - 5)}{(2 - 3x)^2} \][/tex]
### Parte b: [tex]\( y = \sqrt{9 - 2x} \)[/tex]
Para derivar esta función, usaremos la regla de la cadena. Dejamos [tex]\( u = 9 - 2x \)[/tex] y por lo tanto [tex]\( y = \sqrt{u} \)[/tex].
1. Derivamos [tex]\( y \)[/tex] con respecto a [tex]\( u \)[/tex]:
- [tex]\( y = u^{1/2} \)[/tex]
- [tex]\( \frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \)[/tex]
2. Derivamos [tex]\( u \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex]:
- [tex]\( u = 9 - 2x \)[/tex]
- [tex]\( \frac{du}{dx} = -2 \)[/tex]
3. Aplicamos la regla de la cadena:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{9 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{9 - 2x}} \][/tex]
Entonces, la derivada es:
[tex]\[ y' = -\frac{1}{\sqrt{9 - 2x}} \][/tex]
### Parte c: [tex]\( y = \frac{3}{7x + 1} \)[/tex]
Para derivar esta función, también usaremos la regla del cociente o, de manera más simple, la regla de la potencia después de reescribir la función como [tex]\( y = 3(7x + 1)^{-1} \)[/tex].
1. Definimos [tex]\( u = 7x + 1 \)[/tex]:
- [tex]\( y = 3u^{-1} \)[/tex]
2. Derivamos [tex]\( y \)[/tex] con respecto a [tex]\( u \)[/tex]:
- [tex]\( \frac{dy}{du} = 3(-1)u^{-2} = -\frac{3}{u^2} \)[/tex]
3. Derivamos [tex]\( u \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex]:
- [tex]\( u = 7x + 1 \)[/tex]
- [tex]\( \frac{du}{dx} = 7 \)[/tex]
4. Aplicamos la regla de la cadena:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{3}{(7x + 1)^2} \cdot 7 = -\frac{21}{(7x + 1)^2} \][/tex]
Entonces, la derivada es:
[tex]\[ y' = -\frac{21}{(7x + 1)^2} \][/tex]
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