Westonci.ca is the Q&A platform that connects you with experts who provide accurate and detailed answers. Join our platform to get reliable answers to your questions from a knowledgeable community of experts. Discover in-depth answers to your questions from a wide network of professionals on our user-friendly Q&A platform.
Sagot :
Claro, vamos a derivar cada una de las funciones dadas paso a paso.
### Parte a: [tex]\( y = \frac{3x - 5}{2 - 3x} \)[/tex]
Para derivar esta función, usaremos la regla del cociente que establece que si [tex]\( y = \frac{u}{v} \)[/tex], entonces [tex]\( y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)[/tex].
1. Definimos [tex]\( u = 3x - 5 \)[/tex] y [tex]\( v = 2 - 3x \)[/tex].
2. Calculamos las derivadas [tex]\( u' \)[/tex] y [tex]\( v' \)[/tex]:
- [tex]\( u' = \frac{d}{dx}(3x - 5) = 3 \)[/tex]
- [tex]\( v' = \frac{d}{dx}(2 - 3x) = -3 \)[/tex]
3. Aplicamos la regla del cociente:
[tex]\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3(2 - 3x) - (3x - 5)(-3)}{(2 - 3x)^2} \][/tex]
4. Simplificamos el numerador:
[tex]\[ y' = \frac{3(2 - 3x) + 3(3x - 5)}{(2 - 3x)^2} = \frac{6 - 9x + 9x - 15}{(2 - 3x)^2} = \frac{6 - 15}{(2 - 3x)^2} = \frac{-9}{(2 - 3x)^2} \][/tex]
Entonces, la derivada es:
[tex]\[ y' = \frac{3}{2 - 3x} + \frac{3(3x - 5)}{(2 - 3x)^2} \][/tex]
### Parte b: [tex]\( y = \sqrt{9 - 2x} \)[/tex]
Para derivar esta función, usaremos la regla de la cadena. Dejamos [tex]\( u = 9 - 2x \)[/tex] y por lo tanto [tex]\( y = \sqrt{u} \)[/tex].
1. Derivamos [tex]\( y \)[/tex] con respecto a [tex]\( u \)[/tex]:
- [tex]\( y = u^{1/2} \)[/tex]
- [tex]\( \frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \)[/tex]
2. Derivamos [tex]\( u \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex]:
- [tex]\( u = 9 - 2x \)[/tex]
- [tex]\( \frac{du}{dx} = -2 \)[/tex]
3. Aplicamos la regla de la cadena:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{9 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{9 - 2x}} \][/tex]
Entonces, la derivada es:
[tex]\[ y' = -\frac{1}{\sqrt{9 - 2x}} \][/tex]
### Parte c: [tex]\( y = \frac{3}{7x + 1} \)[/tex]
Para derivar esta función, también usaremos la regla del cociente o, de manera más simple, la regla de la potencia después de reescribir la función como [tex]\( y = 3(7x + 1)^{-1} \)[/tex].
1. Definimos [tex]\( u = 7x + 1 \)[/tex]:
- [tex]\( y = 3u^{-1} \)[/tex]
2. Derivamos [tex]\( y \)[/tex] con respecto a [tex]\( u \)[/tex]:
- [tex]\( \frac{dy}{du} = 3(-1)u^{-2} = -\frac{3}{u^2} \)[/tex]
3. Derivamos [tex]\( u \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex]:
- [tex]\( u = 7x + 1 \)[/tex]
- [tex]\( \frac{du}{dx} = 7 \)[/tex]
4. Aplicamos la regla de la cadena:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{3}{(7x + 1)^2} \cdot 7 = -\frac{21}{(7x + 1)^2} \][/tex]
Entonces, la derivada es:
[tex]\[ y' = -\frac{21}{(7x + 1)^2} \][/tex]
### Parte a: [tex]\( y = \frac{3x - 5}{2 - 3x} \)[/tex]
Para derivar esta función, usaremos la regla del cociente que establece que si [tex]\( y = \frac{u}{v} \)[/tex], entonces [tex]\( y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)[/tex].
1. Definimos [tex]\( u = 3x - 5 \)[/tex] y [tex]\( v = 2 - 3x \)[/tex].
2. Calculamos las derivadas [tex]\( u' \)[/tex] y [tex]\( v' \)[/tex]:
- [tex]\( u' = \frac{d}{dx}(3x - 5) = 3 \)[/tex]
- [tex]\( v' = \frac{d}{dx}(2 - 3x) = -3 \)[/tex]
3. Aplicamos la regla del cociente:
[tex]\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3(2 - 3x) - (3x - 5)(-3)}{(2 - 3x)^2} \][/tex]
4. Simplificamos el numerador:
[tex]\[ y' = \frac{3(2 - 3x) + 3(3x - 5)}{(2 - 3x)^2} = \frac{6 - 9x + 9x - 15}{(2 - 3x)^2} = \frac{6 - 15}{(2 - 3x)^2} = \frac{-9}{(2 - 3x)^2} \][/tex]
Entonces, la derivada es:
[tex]\[ y' = \frac{3}{2 - 3x} + \frac{3(3x - 5)}{(2 - 3x)^2} \][/tex]
### Parte b: [tex]\( y = \sqrt{9 - 2x} \)[/tex]
Para derivar esta función, usaremos la regla de la cadena. Dejamos [tex]\( u = 9 - 2x \)[/tex] y por lo tanto [tex]\( y = \sqrt{u} \)[/tex].
1. Derivamos [tex]\( y \)[/tex] con respecto a [tex]\( u \)[/tex]:
- [tex]\( y = u^{1/2} \)[/tex]
- [tex]\( \frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \)[/tex]
2. Derivamos [tex]\( u \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex]:
- [tex]\( u = 9 - 2x \)[/tex]
- [tex]\( \frac{du}{dx} = -2 \)[/tex]
3. Aplicamos la regla de la cadena:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{9 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{9 - 2x}} \][/tex]
Entonces, la derivada es:
[tex]\[ y' = -\frac{1}{\sqrt{9 - 2x}} \][/tex]
### Parte c: [tex]\( y = \frac{3}{7x + 1} \)[/tex]
Para derivar esta función, también usaremos la regla del cociente o, de manera más simple, la regla de la potencia después de reescribir la función como [tex]\( y = 3(7x + 1)^{-1} \)[/tex].
1. Definimos [tex]\( u = 7x + 1 \)[/tex]:
- [tex]\( y = 3u^{-1} \)[/tex]
2. Derivamos [tex]\( y \)[/tex] con respecto a [tex]\( u \)[/tex]:
- [tex]\( \frac{dy}{du} = 3(-1)u^{-2} = -\frac{3}{u^2} \)[/tex]
3. Derivamos [tex]\( u \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex]:
- [tex]\( u = 7x + 1 \)[/tex]
- [tex]\( \frac{du}{dx} = 7 \)[/tex]
4. Aplicamos la regla de la cadena:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{3}{(7x + 1)^2} \cdot 7 = -\frac{21}{(7x + 1)^2} \][/tex]
Entonces, la derivada es:
[tex]\[ y' = -\frac{21}{(7x + 1)^2} \][/tex]
Thank you for choosing our platform. We're dedicated to providing the best answers for all your questions. Visit us again. We hope you found what you were looking for. Feel free to revisit us for more answers and updated information. Westonci.ca is your trusted source for answers. Visit us again to find more information on diverse topics.
