Para derivar la función [tex]\( y = \frac{3}{7x + 1} \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex], seguiremos estos pasos detalladamente:
1. Identificar la forma de la función:
La función dada es un cociente, por lo que podríamos considerar usar la regla del cociente. Sin embargo, es más sencillo identificar que la función tiene la forma [tex]\( \frac{c}{u(x)} \)[/tex], donde [tex]\( c \)[/tex] es una constante y [tex]\( u(x) \)[/tex] es una función de [tex]\( x \)[/tex].
2. Aplicar la regla de la derivada de una función racional [tex]\( \frac{k}{u(x)} \)[/tex]:
La regla para derivar una función de la forma [tex]\( y = \frac{k}{u(x)} \)[/tex], donde [tex]\( k \)[/tex] es una constante y [tex]\( u(x) \)[/tex] es una función de [tex]\( x \)[/tex], es:
[tex]\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{k}{u(x)}\right) = -\frac{k \cdot u'(x)}{[u(x)]^2}
\][/tex]
3. Definir [tex]\( u(x) \)[/tex] y calcular su derivada [tex]\( u'(x) \)[/tex]:
En este caso, [tex]\( u(x) = 7x + 1 \)[/tex].
Derivamos [tex]\( u(x) \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(7x + 1) = 7
\][/tex]
4. Sustituir en la fórmula:
Ahora que tenemos [tex]\( u(x) = 7x + 1 \)[/tex] y [tex]\( u'(x) = 7 \)[/tex], sustituimos en la fórmula de la derivada para [tex]\( \frac{k}{u(x)} \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{7x + 1}\right) = -\frac{3 \cdot 7}{(7x + 1)^2}
\][/tex]
5. Simplificar:
Simplificamos el numerador:
[tex]\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{7x + 1}\right) = -\frac{21}{(7x + 1)^2}
\][/tex]
Por lo tanto, la derivada de la función [tex]\( y = \frac{3}{7x + 1} \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex] es:
[tex]\[
\boxed{-\frac{21}{(7x + 1)^2}}
\][/tex]
