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Sagot :
Claro, vamos a calcular el máximo común divisor (m.c.d.) y el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los pares y tríos de números dados, utilizando la descomposición factorial.
### Descomposición Factorial
Para encontrar el m.c.d y el m.c.m de los números, primero descomponemos cada número en sus factores primos.
#### Pares de Números
1. 121 y 39
- [tex]\(121 = 11^2\)[/tex]
- [tex]\(39 = 3 \times 13\)[/tex]
Máximo Común Divisor (m.c.d.):
No hay factores primos en común entre 121 y 39.
[tex]\[ \text{m.c.d.}(121, 39) = 1 \][/tex]
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.):
[tex]\[ \text{m.c.m.}(121, 39) = \frac{121 \times 39}{\text{m.c.d.}(121, 39)} = 4719 \][/tex]
2. 45 y 38
- [tex]\(45 = 3^2 \times 5\)[/tex]
- [tex]\(38 = 2 \times 19\)[/tex]
Máximo Común Divisor (m.c.d.):
No hay factores primos en común entre 45 y 38.
[tex]\[ \text{m.c.d.}(45, 38) = 1 \][/tex]
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.):
[tex]\[ \text{m.c.m.}(45, 38) = \frac{45 \times 38}{\text{m.c.d.}(45, 38)} = 1710 \][/tex]
3. 90 y 50
- [tex]\(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)[/tex]
- [tex]\(50 = 2 \times 5^2\)[/tex]
Máximo Común Divisor (m.c.d.):
Factores comunes: [tex]\(2\)[/tex] y [tex]\(5\)[/tex]
[tex]\[ \text{m.c.d.}(90, 50) = 2 \times 5 = 10 \][/tex]
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.):
[tex]\[ \text{m.c.m.}(90, 50) = \frac{90 \times 50}{\text{m.c.d.}(90, 50)} = 450 \][/tex]
#### Tríos de Números
1. 45, 55 y 150
- [tex]\(45 = 3^2 \times 5\)[/tex]
- [tex]\(55 = 5 \times 11\)[/tex]
- [tex]\(150 = 2 \times 3 \times 5^2\)[/tex]
Máximo Común Divisor (m.c.d.):
Factor común: [tex]\(5\)[/tex]
[tex]\[ \text{m.c.d.}(45, 55, 150) = 5 \][/tex]
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.):
[tex]\[ \text{m.c.m.}(45, 55, 150) = \frac{45 \times 55 \times 150}{(\text{m.c.d. de cada par} \div \text{m.c.d. de todos})} = 4950 \][/tex]
2. 18, 36 y 54
- [tex]\(18 = 2 \times 3^2\)[/tex]
- [tex]\(36 = 2^2 \times 3^2\)[/tex]
- [tex]\(54 = 2 \times 3^3\)[/tex]
Máximo Común Divisor (m.c.d.):
Factores comunes: [tex]\(2\)[/tex] y [tex]\(3^2\)[/tex]
[tex]\[ \text{m.c.d.}(18, 36, 54) = 2 \times 3^2 = 18 \][/tex]
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.):
[tex]\[ \text{m.c.m.}(18, 36, 54) = \frac{18 \times 36 \times 54}{(\text{m.c.d. de cada par} \div \text{m.c.d. de todos})} = 108 \][/tex]
3. 9, 12 y 16
- [tex]\(9 = 3^2\)[/tex]
- [tex]\(12 = 2^2 \times 3\)[/tex]
- [tex]\(16 = 2^4\)[/tex]
Máximo Común Divisor (m.c.d.):
No hay factores primos comunes entre los tres números.
[tex]\[ \text{m.c.d.}(9, 12, 16) = 1 \][/tex]
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.):
[tex]\[ \text{m.c.m.}(9, 12, 16) = \frac{9 \times 12 \times 16}{(\text{m.c.d. de cada par} \div \text{m.c.d. de todos})} = 144 \][/tex]
Resumiendo, los resultados son:
- Para los pares:
- [tex]\( (1, 4719) \)[/tex] para 121 y 39
- [tex]\( (1, 1710) \)[/tex] para 45 y 38
- [tex]\( (10, 450) \)[/tex] para 90 y 50
- Para los tríos:
- [tex]\( (5, 4950) \)[/tex] para 45, 55 y 150
- [tex]\( (18, 108) \)[/tex] para 18, 36 y 54
- [tex]\( (1, 144) \)[/tex] para 9, 12 y 16
### Descomposición Factorial
Para encontrar el m.c.d y el m.c.m de los números, primero descomponemos cada número en sus factores primos.
#### Pares de Números
1. 121 y 39
- [tex]\(121 = 11^2\)[/tex]
- [tex]\(39 = 3 \times 13\)[/tex]
Máximo Común Divisor (m.c.d.):
No hay factores primos en común entre 121 y 39.
[tex]\[ \text{m.c.d.}(121, 39) = 1 \][/tex]
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.):
[tex]\[ \text{m.c.m.}(121, 39) = \frac{121 \times 39}{\text{m.c.d.}(121, 39)} = 4719 \][/tex]
2. 45 y 38
- [tex]\(45 = 3^2 \times 5\)[/tex]
- [tex]\(38 = 2 \times 19\)[/tex]
Máximo Común Divisor (m.c.d.):
No hay factores primos en común entre 45 y 38.
[tex]\[ \text{m.c.d.}(45, 38) = 1 \][/tex]
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.):
[tex]\[ \text{m.c.m.}(45, 38) = \frac{45 \times 38}{\text{m.c.d.}(45, 38)} = 1710 \][/tex]
3. 90 y 50
- [tex]\(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)[/tex]
- [tex]\(50 = 2 \times 5^2\)[/tex]
Máximo Común Divisor (m.c.d.):
Factores comunes: [tex]\(2\)[/tex] y [tex]\(5\)[/tex]
[tex]\[ \text{m.c.d.}(90, 50) = 2 \times 5 = 10 \][/tex]
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.):
[tex]\[ \text{m.c.m.}(90, 50) = \frac{90 \times 50}{\text{m.c.d.}(90, 50)} = 450 \][/tex]
#### Tríos de Números
1. 45, 55 y 150
- [tex]\(45 = 3^2 \times 5\)[/tex]
- [tex]\(55 = 5 \times 11\)[/tex]
- [tex]\(150 = 2 \times 3 \times 5^2\)[/tex]
Máximo Común Divisor (m.c.d.):
Factor común: [tex]\(5\)[/tex]
[tex]\[ \text{m.c.d.}(45, 55, 150) = 5 \][/tex]
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.):
[tex]\[ \text{m.c.m.}(45, 55, 150) = \frac{45 \times 55 \times 150}{(\text{m.c.d. de cada par} \div \text{m.c.d. de todos})} = 4950 \][/tex]
2. 18, 36 y 54
- [tex]\(18 = 2 \times 3^2\)[/tex]
- [tex]\(36 = 2^2 \times 3^2\)[/tex]
- [tex]\(54 = 2 \times 3^3\)[/tex]
Máximo Común Divisor (m.c.d.):
Factores comunes: [tex]\(2\)[/tex] y [tex]\(3^2\)[/tex]
[tex]\[ \text{m.c.d.}(18, 36, 54) = 2 \times 3^2 = 18 \][/tex]
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.):
[tex]\[ \text{m.c.m.}(18, 36, 54) = \frac{18 \times 36 \times 54}{(\text{m.c.d. de cada par} \div \text{m.c.d. de todos})} = 108 \][/tex]
3. 9, 12 y 16
- [tex]\(9 = 3^2\)[/tex]
- [tex]\(12 = 2^2 \times 3\)[/tex]
- [tex]\(16 = 2^4\)[/tex]
Máximo Común Divisor (m.c.d.):
No hay factores primos comunes entre los tres números.
[tex]\[ \text{m.c.d.}(9, 12, 16) = 1 \][/tex]
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.):
[tex]\[ \text{m.c.m.}(9, 12, 16) = \frac{9 \times 12 \times 16}{(\text{m.c.d. de cada par} \div \text{m.c.d. de todos})} = 144 \][/tex]
Resumiendo, los resultados son:
- Para los pares:
- [tex]\( (1, 4719) \)[/tex] para 121 y 39
- [tex]\( (1, 1710) \)[/tex] para 45 y 38
- [tex]\( (10, 450) \)[/tex] para 90 y 50
- Para los tríos:
- [tex]\( (5, 4950) \)[/tex] para 45, 55 y 150
- [tex]\( (18, 108) \)[/tex] para 18, 36 y 54
- [tex]\( (1, 144) \)[/tex] para 9, 12 y 16
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