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Sagot :
Para resolver este problema, debemos considerar los principios de conservación de la energía y las propiedades de los momentos de inercia de los dos objetos (esfera sólida y cilindro sólido) que están rodando por un plano inclinado.
### Paso 1: Convertir las unidades
Primero, convertimos la altura inicial [tex]\( h = 50.0 \text{ cm} \)[/tex] a metros:
[tex]\[ h = 50.0 \text{ cm} = 0.50 \text{ m} \][/tex]
### Paso 2: Momento de Inercia
El momento de inercia ([tex]\( I \)[/tex]) depende de la forma del objeto.
- Para una esfera sólida, el momento de inercia es:
[tex]\[ I_{\text{esfera}} = \frac{2}{5} mr^2 \][/tex]
- Para un cilindro sólido, el momento de inercia es:
[tex]\[ I_{\text{cilindro}} = \frac{1}{2} mr^2 \][/tex]
Dado que el radio [tex]\( r = 6.0 \text{ cm} = 0.06 \text{ m} \)[/tex] y la masa [tex]\( m = 1.3 \text{ kg} \)[/tex]:
[tex]\[ I_{\text{esfera}} = \frac{2}{5} \cdot 1.3 \cdot (0.06)^2 \][/tex]
[tex]\[ I_{\text{cilindro}} = \frac{1}{2} \cdot 1.3 \cdot (0.06)^2 \][/tex]
### Paso 3: Conservación de Energía
La energía potencial gravitatoria inicial ([tex]\( E_{\text{pot}} \)[/tex]) de ambos objetos es la misma y se convierte en energía cinética ([tex]\( E_{\text{cin}} \)[/tex]) de traslación y rotación al moverse:
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} Iw^2 \][/tex]
Donde [tex]\( w \)[/tex] es la velocidad angular, y para un objeto rodante sin deslizamiento:
[tex]\[ v = rw \implies w = \frac{v}{r} \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( w \)[/tex]:
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \left( \frac{v}{r} \right)^2 \][/tex]
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} \frac{I}{r^2} v^2 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 \left( 1 + \frac{I}{mr^2} \right) \][/tex]
### Paso 4: Resolver para [tex]\( v \)[/tex]
Despejamos [tex]\(v\)[/tex] (velocidad final):
Para la esfera sólida:
[tex]\[ v_{\text{esfera}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{2}{5}} \right)^{1/2} \][/tex]
[tex]\[ v_{\text{esfera}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{2}{5}} \right)^{1/2} = (2.6457513110645907) \text{ m/s} \][/tex]
Para el cilindro sólido:
[tex]\[ v_{\text{cilindro}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{1}{2}} \right)^{1/2} \][/tex]
[tex]\[v_{\text{cilindro}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{1}{2}} \right)^{1/2} = (2.5560386016907755) \text{ m/s} \][/tex]
### Comparación de las velocidades
- Velocidad de la esfera sólida: [tex]\( 2.6457513110645907 \text{ m/s} \)[/tex]
- Velocidad del cilindro sólido: [tex]\( 2.5560386016907755 \text{ m/s} \)[/tex]
### Conclusión
La esfera sólida descenderá más rápido por el plano inclinado con una velocidad de [tex]\( 2.6457513110645907 \text{ m/s} \)[/tex], en comparación con el cilindro sólido, que descenderá a [tex]\( 2.5560386016907755 \text{ m/s} \)[/tex].
### Paso 1: Convertir las unidades
Primero, convertimos la altura inicial [tex]\( h = 50.0 \text{ cm} \)[/tex] a metros:
[tex]\[ h = 50.0 \text{ cm} = 0.50 \text{ m} \][/tex]
### Paso 2: Momento de Inercia
El momento de inercia ([tex]\( I \)[/tex]) depende de la forma del objeto.
- Para una esfera sólida, el momento de inercia es:
[tex]\[ I_{\text{esfera}} = \frac{2}{5} mr^2 \][/tex]
- Para un cilindro sólido, el momento de inercia es:
[tex]\[ I_{\text{cilindro}} = \frac{1}{2} mr^2 \][/tex]
Dado que el radio [tex]\( r = 6.0 \text{ cm} = 0.06 \text{ m} \)[/tex] y la masa [tex]\( m = 1.3 \text{ kg} \)[/tex]:
[tex]\[ I_{\text{esfera}} = \frac{2}{5} \cdot 1.3 \cdot (0.06)^2 \][/tex]
[tex]\[ I_{\text{cilindro}} = \frac{1}{2} \cdot 1.3 \cdot (0.06)^2 \][/tex]
### Paso 3: Conservación de Energía
La energía potencial gravitatoria inicial ([tex]\( E_{\text{pot}} \)[/tex]) de ambos objetos es la misma y se convierte en energía cinética ([tex]\( E_{\text{cin}} \)[/tex]) de traslación y rotación al moverse:
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} Iw^2 \][/tex]
Donde [tex]\( w \)[/tex] es la velocidad angular, y para un objeto rodante sin deslizamiento:
[tex]\[ v = rw \implies w = \frac{v}{r} \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( w \)[/tex]:
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \left( \frac{v}{r} \right)^2 \][/tex]
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} \frac{I}{r^2} v^2 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 \left( 1 + \frac{I}{mr^2} \right) \][/tex]
### Paso 4: Resolver para [tex]\( v \)[/tex]
Despejamos [tex]\(v\)[/tex] (velocidad final):
Para la esfera sólida:
[tex]\[ v_{\text{esfera}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{2}{5}} \right)^{1/2} \][/tex]
[tex]\[ v_{\text{esfera}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{2}{5}} \right)^{1/2} = (2.6457513110645907) \text{ m/s} \][/tex]
Para el cilindro sólido:
[tex]\[ v_{\text{cilindro}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{1}{2}} \right)^{1/2} \][/tex]
[tex]\[v_{\text{cilindro}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{1}{2}} \right)^{1/2} = (2.5560386016907755) \text{ m/s} \][/tex]
### Comparación de las velocidades
- Velocidad de la esfera sólida: [tex]\( 2.6457513110645907 \text{ m/s} \)[/tex]
- Velocidad del cilindro sólido: [tex]\( 2.5560386016907755 \text{ m/s} \)[/tex]
### Conclusión
La esfera sólida descenderá más rápido por el plano inclinado con una velocidad de [tex]\( 2.6457513110645907 \text{ m/s} \)[/tex], en comparación con el cilindro sólido, que descenderá a [tex]\( 2.5560386016907755 \text{ m/s} \)[/tex].
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