Discover the answers to your questions at Westonci.ca, where experts share their knowledge and insights with you. Join our platform to connect with experts ready to provide precise answers to your questions in different areas. Get immediate and reliable solutions to your questions from a community of experienced professionals on our platform.
Sagot :
Para resolver este problema, debemos considerar los principios de conservación de la energía y las propiedades de los momentos de inercia de los dos objetos (esfera sólida y cilindro sólido) que están rodando por un plano inclinado.
### Paso 1: Convertir las unidades
Primero, convertimos la altura inicial [tex]\( h = 50.0 \text{ cm} \)[/tex] a metros:
[tex]\[ h = 50.0 \text{ cm} = 0.50 \text{ m} \][/tex]
### Paso 2: Momento de Inercia
El momento de inercia ([tex]\( I \)[/tex]) depende de la forma del objeto.
- Para una esfera sólida, el momento de inercia es:
[tex]\[ I_{\text{esfera}} = \frac{2}{5} mr^2 \][/tex]
- Para un cilindro sólido, el momento de inercia es:
[tex]\[ I_{\text{cilindro}} = \frac{1}{2} mr^2 \][/tex]
Dado que el radio [tex]\( r = 6.0 \text{ cm} = 0.06 \text{ m} \)[/tex] y la masa [tex]\( m = 1.3 \text{ kg} \)[/tex]:
[tex]\[ I_{\text{esfera}} = \frac{2}{5} \cdot 1.3 \cdot (0.06)^2 \][/tex]
[tex]\[ I_{\text{cilindro}} = \frac{1}{2} \cdot 1.3 \cdot (0.06)^2 \][/tex]
### Paso 3: Conservación de Energía
La energía potencial gravitatoria inicial ([tex]\( E_{\text{pot}} \)[/tex]) de ambos objetos es la misma y se convierte en energía cinética ([tex]\( E_{\text{cin}} \)[/tex]) de traslación y rotación al moverse:
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} Iw^2 \][/tex]
Donde [tex]\( w \)[/tex] es la velocidad angular, y para un objeto rodante sin deslizamiento:
[tex]\[ v = rw \implies w = \frac{v}{r} \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( w \)[/tex]:
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \left( \frac{v}{r} \right)^2 \][/tex]
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} \frac{I}{r^2} v^2 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 \left( 1 + \frac{I}{mr^2} \right) \][/tex]
### Paso 4: Resolver para [tex]\( v \)[/tex]
Despejamos [tex]\(v\)[/tex] (velocidad final):
Para la esfera sólida:
[tex]\[ v_{\text{esfera}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{2}{5}} \right)^{1/2} \][/tex]
[tex]\[ v_{\text{esfera}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{2}{5}} \right)^{1/2} = (2.6457513110645907) \text{ m/s} \][/tex]
Para el cilindro sólido:
[tex]\[ v_{\text{cilindro}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{1}{2}} \right)^{1/2} \][/tex]
[tex]\[v_{\text{cilindro}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{1}{2}} \right)^{1/2} = (2.5560386016907755) \text{ m/s} \][/tex]
### Comparación de las velocidades
- Velocidad de la esfera sólida: [tex]\( 2.6457513110645907 \text{ m/s} \)[/tex]
- Velocidad del cilindro sólido: [tex]\( 2.5560386016907755 \text{ m/s} \)[/tex]
### Conclusión
La esfera sólida descenderá más rápido por el plano inclinado con una velocidad de [tex]\( 2.6457513110645907 \text{ m/s} \)[/tex], en comparación con el cilindro sólido, que descenderá a [tex]\( 2.5560386016907755 \text{ m/s} \)[/tex].
### Paso 1: Convertir las unidades
Primero, convertimos la altura inicial [tex]\( h = 50.0 \text{ cm} \)[/tex] a metros:
[tex]\[ h = 50.0 \text{ cm} = 0.50 \text{ m} \][/tex]
### Paso 2: Momento de Inercia
El momento de inercia ([tex]\( I \)[/tex]) depende de la forma del objeto.
- Para una esfera sólida, el momento de inercia es:
[tex]\[ I_{\text{esfera}} = \frac{2}{5} mr^2 \][/tex]
- Para un cilindro sólido, el momento de inercia es:
[tex]\[ I_{\text{cilindro}} = \frac{1}{2} mr^2 \][/tex]
Dado que el radio [tex]\( r = 6.0 \text{ cm} = 0.06 \text{ m} \)[/tex] y la masa [tex]\( m = 1.3 \text{ kg} \)[/tex]:
[tex]\[ I_{\text{esfera}} = \frac{2}{5} \cdot 1.3 \cdot (0.06)^2 \][/tex]
[tex]\[ I_{\text{cilindro}} = \frac{1}{2} \cdot 1.3 \cdot (0.06)^2 \][/tex]
### Paso 3: Conservación de Energía
La energía potencial gravitatoria inicial ([tex]\( E_{\text{pot}} \)[/tex]) de ambos objetos es la misma y se convierte en energía cinética ([tex]\( E_{\text{cin}} \)[/tex]) de traslación y rotación al moverse:
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} Iw^2 \][/tex]
Donde [tex]\( w \)[/tex] es la velocidad angular, y para un objeto rodante sin deslizamiento:
[tex]\[ v = rw \implies w = \frac{v}{r} \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( w \)[/tex]:
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \left( \frac{v}{r} \right)^2 \][/tex]
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} \frac{I}{r^2} v^2 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 \left( 1 + \frac{I}{mr^2} \right) \][/tex]
### Paso 4: Resolver para [tex]\( v \)[/tex]
Despejamos [tex]\(v\)[/tex] (velocidad final):
Para la esfera sólida:
[tex]\[ v_{\text{esfera}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{2}{5}} \right)^{1/2} \][/tex]
[tex]\[ v_{\text{esfera}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{2}{5}} \right)^{1/2} = (2.6457513110645907) \text{ m/s} \][/tex]
Para el cilindro sólido:
[tex]\[ v_{\text{cilindro}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{1}{2}} \right)^{1/2} \][/tex]
[tex]\[v_{\text{cilindro}} = \left( \frac{2gh}{1 + \frac{1}{2}} \right)^{1/2} = (2.5560386016907755) \text{ m/s} \][/tex]
### Comparación de las velocidades
- Velocidad de la esfera sólida: [tex]\( 2.6457513110645907 \text{ m/s} \)[/tex]
- Velocidad del cilindro sólido: [tex]\( 2.5560386016907755 \text{ m/s} \)[/tex]
### Conclusión
La esfera sólida descenderá más rápido por el plano inclinado con una velocidad de [tex]\( 2.6457513110645907 \text{ m/s} \)[/tex], en comparación con el cilindro sólido, que descenderá a [tex]\( 2.5560386016907755 \text{ m/s} \)[/tex].
Your visit means a lot to us. Don't hesitate to return for more reliable answers to any questions you may have. Thanks for using our service. We're always here to provide accurate and up-to-date answers to all your queries. Westonci.ca is your go-to source for reliable answers. Return soon for more expert insights.