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Sagot :
Claro, vamos a realizar la división de los polinomios [tex]\(2x^3 - 2 - 4x\)[/tex] entre [tex]\(2 + 2x\)[/tex]. Vamos a hacerlo paso a paso.
### Paso 1: Reordenar los polinomios
Vamos a expresar los polinomios en un orden más estándar. Notamos que el polinomio dividendo [tex]\(2x^3 - 2 - 4x\)[/tex] puede reordenarse como [tex]\(2x^3 - 4x - 2\)[/tex].
El divisor es [tex]\(2 + 2x\)[/tex] y también puede reordenarse como [tex]\(2x + 2\)[/tex].
### Paso 2: División de polinomios
Ahora, realizamos la división de la siguiente manera:
#### Primer término de la división:
1. Tomamos el término de mayor grado del dividendo [tex]\(2x^3\)[/tex] y lo dividimos por el término de mayor grado del divisor [tex]\(2x\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{2x^3}{2x} = x^2 \][/tex]
2. Multiplicamos todo el divisor [tex]\(2x + 2\)[/tex] por este término resultante [tex]\(x^2\)[/tex]:
[tex]\[ (x^2) \times (2x + 2) = 2x^3 + 2x^2 \][/tex]
3. Restamos este resultado del dividendo:
[tex]\[ (2x^3 - 4x - 2) - (2x^3 + 2x^2) = -2x^2 - 4x - 2 \][/tex]
#### Segundo término de la división:
1. Tomamos el término de mayor grado del nuevo dividendo [tex]\(-2x^2\)[/tex] y lo dividimos por el término de mayor grado del divisor [tex]\(2x\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{-2x^2}{2x} = -x \][/tex]
2. Multiplicamos todo el divisor [tex]\(2x + 2\)[/tex] por este término resultante [tex]\(-x\)[/tex]:
[tex]\[ (-x) \times (2x + 2) = -2x^2 - 2x \][/tex]
3. Restamos este resultado del nuevo dividendo:
[tex]\[ (-2x^2 - 4x - 2) - (-2x^2 - 2x) = -2x - 2 \][/tex]
#### Tercer término de la división:
1. Tomamos el término de mayor grado del nuevo dividendo [tex]\(-2x\)[/tex] y lo dividimos por el término de mayor grado del divisor [tex]\(2x\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{-2x}{2x} = -1 \][/tex]
2. Multiplicamos todo el divisor [tex]\(2x + 2\)[/tex] por este término resultante [tex]\(-1\)[/tex]:
[tex]\[ (-1) \times (2x + 2) = -2x - 2 \][/tex]
3. Restamos este resultado del nuevo dividendo:
[tex]\[ (-2x - 2) - (-2x - 2) = 0 \][/tex]
### Resultado final
Al finalizar la división, tenemos que:
[tex]\[ \frac{2x^3 - 2 - 4x}{2 + 2x} = x^2 - x - 1 \quad \text{con residuo } 0 \][/tex]
Por lo tanto, el cociente de la división es [tex]\(x^2 - x - 1\)[/tex] y el residuo es [tex]\(0\)[/tex].
### Paso 1: Reordenar los polinomios
Vamos a expresar los polinomios en un orden más estándar. Notamos que el polinomio dividendo [tex]\(2x^3 - 2 - 4x\)[/tex] puede reordenarse como [tex]\(2x^3 - 4x - 2\)[/tex].
El divisor es [tex]\(2 + 2x\)[/tex] y también puede reordenarse como [tex]\(2x + 2\)[/tex].
### Paso 2: División de polinomios
Ahora, realizamos la división de la siguiente manera:
#### Primer término de la división:
1. Tomamos el término de mayor grado del dividendo [tex]\(2x^3\)[/tex] y lo dividimos por el término de mayor grado del divisor [tex]\(2x\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{2x^3}{2x} = x^2 \][/tex]
2. Multiplicamos todo el divisor [tex]\(2x + 2\)[/tex] por este término resultante [tex]\(x^2\)[/tex]:
[tex]\[ (x^2) \times (2x + 2) = 2x^3 + 2x^2 \][/tex]
3. Restamos este resultado del dividendo:
[tex]\[ (2x^3 - 4x - 2) - (2x^3 + 2x^2) = -2x^2 - 4x - 2 \][/tex]
#### Segundo término de la división:
1. Tomamos el término de mayor grado del nuevo dividendo [tex]\(-2x^2\)[/tex] y lo dividimos por el término de mayor grado del divisor [tex]\(2x\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{-2x^2}{2x} = -x \][/tex]
2. Multiplicamos todo el divisor [tex]\(2x + 2\)[/tex] por este término resultante [tex]\(-x\)[/tex]:
[tex]\[ (-x) \times (2x + 2) = -2x^2 - 2x \][/tex]
3. Restamos este resultado del nuevo dividendo:
[tex]\[ (-2x^2 - 4x - 2) - (-2x^2 - 2x) = -2x - 2 \][/tex]
#### Tercer término de la división:
1. Tomamos el término de mayor grado del nuevo dividendo [tex]\(-2x\)[/tex] y lo dividimos por el término de mayor grado del divisor [tex]\(2x\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{-2x}{2x} = -1 \][/tex]
2. Multiplicamos todo el divisor [tex]\(2x + 2\)[/tex] por este término resultante [tex]\(-1\)[/tex]:
[tex]\[ (-1) \times (2x + 2) = -2x - 2 \][/tex]
3. Restamos este resultado del nuevo dividendo:
[tex]\[ (-2x - 2) - (-2x - 2) = 0 \][/tex]
### Resultado final
Al finalizar la división, tenemos que:
[tex]\[ \frac{2x^3 - 2 - 4x}{2 + 2x} = x^2 - x - 1 \quad \text{con residuo } 0 \][/tex]
Por lo tanto, el cociente de la división es [tex]\(x^2 - x - 1\)[/tex] y el residuo es [tex]\(0\)[/tex].
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