Claro, con gusto te explicaré el proceso de cálculo de [tex]\(\sin(113^\circ)\)[/tex] usando una identidad trigonométrica y comparándolo con las opciones dadas.
### Paso 1: Aplicar una identidad trigonométrica
Para comenzar, usaremos la identidad trigonométrica que relaciona ángulos suplementarios:
[tex]\[
\sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta)
\][/tex]
Dado que [tex]\(113^\circ\)[/tex] es mayor que [tex]\(90^\circ\)[/tex], escribimos:
[tex]\[
113^\circ = 180^\circ - 67^\circ
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
\sin(113^\circ) = \sin(180^\circ - 67^\circ) = \sin(67^\circ)
\][/tex]
### Paso 2: Verificar las opciones dadas
Ahora evaluamos cuál de las tres opciones se corresponde con [tex]\(\sin(67^\circ)\)[/tex]. Las alternativas son:
- Opción A: [tex]\(\frac{7 \sqrt{3}}{10}\)[/tex]
- Opción B: [tex]\(\frac{7}{5}\)[/tex]
- Opción C: [tex]\((3 \sqrt{3} + 4) / 10\)[/tex]
### Paso 3: Calcular valores numéricos
Evaluamos los valores numéricos de las opciones dadas y también calculamos [tex]\(\sin(67^\circ)\)[/tex] para compararlo.
1. Opción A: [tex]\(\frac{7 \sqrt{3}}{10} \approx 1.2124\)[/tex]
2. Opción B: [tex]\(\frac{7}{5} = 1.4\)[/tex]
3. Opción C: [tex]\(\frac{3 \sqrt{3} + 4}{10} \approx 0.9196\)[/tex]
4. Valor de [tex]\(\sin(67^\circ)\)[/tex]: [tex]\(\sin(67^\circ) \approx 0.9205\)[/tex]
### Paso 4: Comparar resultados
Revisamos los valores calculados:
- [tex]\(\sin(67^\circ) \approx 0.9205\)[/tex]
- La opción que más se acerca al valor de [tex]\(\sin(67^\circ)\)[/tex] es la opción C: [tex]\(\frac{3 \sqrt{3} + 4}{10} \approx 0.9196\)[/tex]
### Conclusión
Después de comparar, concluimos que el valor de [tex]\(\sin(113^\circ) = \sin(67^\circ)\)[/tex] corresponde a la opción C:
[tex]\[
\boxed{\left(\frac{3 \sqrt{3} + 4}{10}\right)}
\][/tex]
