Westonci.ca is the ultimate Q&A platform, offering detailed and reliable answers from a knowledgeable community. Connect with professionals ready to provide precise answers to your questions on our comprehensive Q&A platform. Our platform provides a seamless experience for finding reliable answers from a network of experienced professionals.
Sagot :
Para resolver el problema de encontrar los puntos críticos de la función [tex]\( y = x^3 + 2x^2 - 4x + 1 \)[/tex], debemos seguir estos pasos:
### Paso 1: Hallar la derivada primera de la función
Para encontrar los puntos críticos, primero necesitamos calcular la derivada primera de la función [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x^2 - 4x + 1) \][/tex]
Aplicando las reglas de derivación, tenemos:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 4 \][/tex]
### Paso 2: Encontrar los puntos críticos
Los puntos críticos se hallan resolviendo la ecuación cuando la derivada primera es igual a cero:
[tex]\[ 3x^2 + 4x - 4 = 0 \][/tex]
### Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática
Esta es una ecuación cuadrática en forma estándar [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]. Podemos usar la fórmula general para resolverla:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
- [tex]\( a = 3 \)[/tex]
- [tex]\( b = 4 \)[/tex]
- [tex]\( c = -4 \)[/tex]
Sustituyendo estos valores en la fórmula general, obtenemos:
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm 8}{6} \][/tex]
Esto produce dos soluciones:
[tex]\[ x_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \][/tex]
Por lo tanto, los puntos críticos se encuentran en [tex]\( x = \frac{2}{3} \)[/tex] y [tex]\( x = -2 \)[/tex].
### Paso 4: Evaluar la función en los puntos críticos
Finalmente, debemos calcular el valor de la función [tex]\( y \)[/tex] en cada uno de los puntos críticos.
Para [tex]\( x = \frac{2}{3} \)[/tex]:
[tex]\[ y \left( \frac{2}{3} \right) = \left( \frac{2}{3} \right)^3 + 2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 - 4 \left( \frac{2}{3} \right) + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{8}{27} + 2 \left( \frac{4}{9} \right) - \frac{8}{3} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{8}{27} + \frac{8}{9} - \frac{72}{27} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{8 + 24 - 72}{27} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{-40}{27} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{-40}{27} + \frac{27}{27} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{-13}{27} \][/tex]
Para [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
[tex]\[ y(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) + 1 \][/tex]
[tex]\[ = -8 + 8 + 8 + 1 \][/tex]
[tex]\[ = 9 \][/tex]
### Resumen
Los puntos críticos de la función [tex]\( y = x^3 + 2x^2 - 4x + 1 \)[/tex] son los siguientes:
- En [tex]\( x = -2 \)[/tex], el valor correspondiente de [tex]\( y \)[/tex] es 9.
- En [tex]\( x = \frac{2}{3} \)[/tex], el valor correspondiente de [tex]\( y \)[/tex] es [tex]\( \frac{-13}{27} \)[/tex].
### Paso 1: Hallar la derivada primera de la función
Para encontrar los puntos críticos, primero necesitamos calcular la derivada primera de la función [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x^2 - 4x + 1) \][/tex]
Aplicando las reglas de derivación, tenemos:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 4 \][/tex]
### Paso 2: Encontrar los puntos críticos
Los puntos críticos se hallan resolviendo la ecuación cuando la derivada primera es igual a cero:
[tex]\[ 3x^2 + 4x - 4 = 0 \][/tex]
### Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática
Esta es una ecuación cuadrática en forma estándar [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]. Podemos usar la fórmula general para resolverla:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
- [tex]\( a = 3 \)[/tex]
- [tex]\( b = 4 \)[/tex]
- [tex]\( c = -4 \)[/tex]
Sustituyendo estos valores en la fórmula general, obtenemos:
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm 8}{6} \][/tex]
Esto produce dos soluciones:
[tex]\[ x_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \][/tex]
Por lo tanto, los puntos críticos se encuentran en [tex]\( x = \frac{2}{3} \)[/tex] y [tex]\( x = -2 \)[/tex].
### Paso 4: Evaluar la función en los puntos críticos
Finalmente, debemos calcular el valor de la función [tex]\( y \)[/tex] en cada uno de los puntos críticos.
Para [tex]\( x = \frac{2}{3} \)[/tex]:
[tex]\[ y \left( \frac{2}{3} \right) = \left( \frac{2}{3} \right)^3 + 2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 - 4 \left( \frac{2}{3} \right) + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{8}{27} + 2 \left( \frac{4}{9} \right) - \frac{8}{3} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{8}{27} + \frac{8}{9} - \frac{72}{27} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{8 + 24 - 72}{27} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{-40}{27} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{-40}{27} + \frac{27}{27} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{-13}{27} \][/tex]
Para [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
[tex]\[ y(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) + 1 \][/tex]
[tex]\[ = -8 + 8 + 8 + 1 \][/tex]
[tex]\[ = 9 \][/tex]
### Resumen
Los puntos críticos de la función [tex]\( y = x^3 + 2x^2 - 4x + 1 \)[/tex] son los siguientes:
- En [tex]\( x = -2 \)[/tex], el valor correspondiente de [tex]\( y \)[/tex] es 9.
- En [tex]\( x = \frac{2}{3} \)[/tex], el valor correspondiente de [tex]\( y \)[/tex] es [tex]\( \frac{-13}{27} \)[/tex].
We hope this was helpful. Please come back whenever you need more information or answers to your queries. Your visit means a lot to us. Don't hesitate to return for more reliable answers to any questions you may have. We're glad you chose Westonci.ca. Revisit us for updated answers from our knowledgeable team.
