Bien sûr! Voici la solution complète et détaillée pour l'exercice 2 :
### 1) Développer, réduire et ordonner l'expression [tex]\( B \)[/tex]
On commence par développer l'expression donnée [tex]\( B = 4x^2 - (x-3)^2 \)[/tex].
Développons [tex]\( (x - 3)^2 \)[/tex]:
[tex]\[
(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9
\][/tex]
Maintenant, substituons-le dans l'expression de [tex]\( B \)[/tex]:
[tex]\[
B = 4x^2 - (x^2 - 6x + 9)
\][/tex]
En supprimant les parenthèses:
[tex]\[
B = 4x^2 - x^2 + 6x - 9
\][/tex]
Réduisons maintenant les termes similaires:
[tex]\[
B = 3x^2 + 6x - 9
\][/tex]
Donc, l'expression développée, réduite et ordonnée de [tex]\( B \)[/tex] est :
[tex]\[
B = 3x^2 + 6x - 9
\][/tex]
### 2) Calculer et simplifier la valeur de [tex]\( B \)[/tex] lorsque [tex]\( x = \sqrt{3} \)[/tex]
Substituons [tex]\( x = \sqrt{3} \)[/tex] dans l'expression obtenue [tex]\( B = 3x^2 + 6x - 9 \)[/tex]:
[tex]\[
B = 3(\sqrt{3})^2 + 6(\sqrt{3}) - 9
\][/tex]
Calculons chaque terme :
[tex]\[
(\sqrt{3})^2 = 3
\][/tex]
Ainsi :
[tex]\[
B = 3 \times 3 + 6\sqrt{3} - 9
\][/tex]
[tex]\[
B = 9 + 6\sqrt{3} - 9
\][/tex]
Les termes constants [tex]\( 9 \)[/tex] et [tex]\( -9 \)[/tex] s'annulent :
[tex]\[
B = 6\sqrt{3}
\][/tex]
Donc, la valeur de [tex]\( B \)[/tex] lorsque [tex]\( x = \sqrt{3} \)[/tex] est :
[tex]\[
B = 6\sqrt{3}
\][/tex]
### 3) Factoriser l'expression [tex]\( B \)[/tex] puis résoudre dans [tex]\( \mathbb{R} \)[/tex] l'équation [tex]\( (x - 1)(x + 3) = 0 \)[/tex]
Factorisons [tex]\( 3x^2 + 6x - 9 \)[/tex] :
On peut sortir un facteur commun de 3 :
[tex]\[
B = 3(x^2 + 2x - 3)
\][/tex]
Ensuite, factorisons le trinôme [tex]\( x^2 + 2x - 3 \)[/tex]:
Cherchons deux nombres dont le produit est [tex]\(-3\)[/tex] et la somme est [tex]\(2\)[/tex]. Ces nombres sont [tex]\(3\)[/tex] et [tex]\(-1\)[/tex].
Donc :
[tex]\[
x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)
\][/tex]
Ainsi, on peut écrire :
[tex]\[
B = 3(x - 1)(x + 3)
\][/tex]
Finalement, l'équation donnée est :
[tex]\[
(x - 1)(x + 3) = 0
\][/tex]
Résolvons cette équation :
Pour [tex]\( x - 1 = 0 \)[/tex] :
[tex]\[
x = 1
\][/tex]
Pour [tex]\( x + 3 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[
x = -3
\][/tex]
Donc, les solutions de l'équation [tex]\( (x - 1)(x + 3) = 0 \)[/tex] dans [tex]\( \mathbb{R} \)[/tex] sont :
[tex]\[
x = 1 \quad \text{et} \quad x = -3
\][/tex]
