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Sagot :
Vamos a resolver el problema paso a paso.
### a) Rango
El rango es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de los datos.
Datos:
[tex]\[53, 62, 73, 83, 92, 61, 58, 72, 100, 75, 63, 64, 79, 77, 69, 78, 57, 65, 55, 65, 76, 52, 54, 40, 67, 85, 73, 82, 74, 66, 78, 72, 58, 68, 84, 88, 55, 81, 79, 48\][/tex]
Valores máximo y mínimo:
[tex]\[ \text{Máximo} = 100, \text{Mínimo} = 40 \][/tex]
Por lo tanto, el rango es:
[tex]\[ \text{Rango} = 100 - 40 = 60 \][/tex]
### b) Número de intervalos
Usamos la regla de Sturges para determinar el número de intervalos:
[tex]\[ k = 1 + 3.322 \log_{10}(n) \][/tex]
donde [tex]\( n = 40 \)[/tex] (el número de datos).
[tex]\[ k = 1 + 3.322 \log_{10}(40) \][/tex]
[tex]\[ \log_{10}(40) \approx 1.602 \][/tex]
[tex]\[ k = 1 + 3.322 \times 1.602 \approx 1 + 5.32 \approx 6.32 \][/tex]
Redondeamos al número entero más cercano:
[tex]\[ k \approx 6 \][/tex]
### c) Amplitud del intervalo
La amplitud del intervalo se calcula dividiendo el rango entre el número de intervalos:
[tex]\[ a = \frac{\text{Rango}}{k} \][/tex]
[tex]\[ a = \frac{60}{6} = 10 \][/tex]
### d) Distribución de frecuencias
1. Intervalos:
Vamos a definir los intervalos con la amplitud calculada.
[tex]\[ \begin{aligned} &40 - 50, \\ &50 - 60, \\ &60 - 70, \\ &70 - 80, \\ &80 - 90, \\ &90 - 100 \end{aligned} \][/tex]
2. Frecuencia Absoluta:
Contamos cuántos datos hay en cada intervalo:
[tex]\[ \begin{aligned} &40 - 50: &2, \\ &50 - 60: &9, \\ &60 - 70: &8, \\ &70 - 80: &12, \\ &80 - 90: &7, \\ &90 - 100: &2 \end{aligned} \][/tex]
3. Frecuencia Relativa:
Dividimos la frecuencia absoluta entre el número total de datos (40):
[tex]\[ \begin{aligned} &40 - 50: &\frac{2}{40} = 0.05, \\ &50 - 60: &\frac{9}{40} = 0.225, \\ &60 - 70: &\frac{8}{40} = 0.20, \\ &70 - 80: &\frac{12}{40} = 0.30, \\ &80 - 90: &\frac{7}{40} = 0.175, \\ &90 - 100: &\frac{2}{40} = 0.05 \end{aligned} \][/tex]
Resumimos la distribución de frecuencias:
[tex]\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Intervalo} & \text{Frecuencia Absoluta} & \text{Frecuencia Relativa} \\ \hline 40 - 50 & 2 & 0.05 \\ 50 - 60 & 9 & 0.225 \\ 60 - 70 & 8 & 0.20 \\ 70 - 80 & 12 & 0.30 \\ 80 - 90 & 7 & 0.175 \\ 90 - 100 & 2 & 0.05 \\ \hline \end{array} \][/tex]
### e) Gráfica de frecuencias (histograma), polígono de frecuencias y gráfica de porcentaje
1. Histograma:
Para el histograma, graficamos los intervalos en el eje x y las frecuencias absolutas en el eje y.
2. Polígono de Frecuencias:
Para el polígono de frecuencias, utilizamos los puntos medios de los intervalos en el eje x y las frecuencias absolutas en el eje y. Los puntos medios serían:
[tex]\[ \begin{aligned} &45, \\ &55, \\ &65, \\ &75, \\ &85, \\ &95 \end{aligned} \][/tex]
3. Gráfica de Porcentaje:
Para la gráfica de porcentaje, utilizamos los puntos medios de los intervalos en el eje x y los porcentajes (frecuencias relativas multiplicadas por 100) en el eje y:
[tex]\[ \begin{aligned} &5\% , \\ &22.5\%, \\ &20\%, \\ &30\%, \\ &17.5\%, \\ &5\% \end{aligned} \][/tex]
Espero que esta explicación y cálculo detallado te sean de ayuda.
### a) Rango
El rango es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de los datos.
Datos:
[tex]\[53, 62, 73, 83, 92, 61, 58, 72, 100, 75, 63, 64, 79, 77, 69, 78, 57, 65, 55, 65, 76, 52, 54, 40, 67, 85, 73, 82, 74, 66, 78, 72, 58, 68, 84, 88, 55, 81, 79, 48\][/tex]
Valores máximo y mínimo:
[tex]\[ \text{Máximo} = 100, \text{Mínimo} = 40 \][/tex]
Por lo tanto, el rango es:
[tex]\[ \text{Rango} = 100 - 40 = 60 \][/tex]
### b) Número de intervalos
Usamos la regla de Sturges para determinar el número de intervalos:
[tex]\[ k = 1 + 3.322 \log_{10}(n) \][/tex]
donde [tex]\( n = 40 \)[/tex] (el número de datos).
[tex]\[ k = 1 + 3.322 \log_{10}(40) \][/tex]
[tex]\[ \log_{10}(40) \approx 1.602 \][/tex]
[tex]\[ k = 1 + 3.322 \times 1.602 \approx 1 + 5.32 \approx 6.32 \][/tex]
Redondeamos al número entero más cercano:
[tex]\[ k \approx 6 \][/tex]
### c) Amplitud del intervalo
La amplitud del intervalo se calcula dividiendo el rango entre el número de intervalos:
[tex]\[ a = \frac{\text{Rango}}{k} \][/tex]
[tex]\[ a = \frac{60}{6} = 10 \][/tex]
### d) Distribución de frecuencias
1. Intervalos:
Vamos a definir los intervalos con la amplitud calculada.
[tex]\[ \begin{aligned} &40 - 50, \\ &50 - 60, \\ &60 - 70, \\ &70 - 80, \\ &80 - 90, \\ &90 - 100 \end{aligned} \][/tex]
2. Frecuencia Absoluta:
Contamos cuántos datos hay en cada intervalo:
[tex]\[ \begin{aligned} &40 - 50: &2, \\ &50 - 60: &9, \\ &60 - 70: &8, \\ &70 - 80: &12, \\ &80 - 90: &7, \\ &90 - 100: &2 \end{aligned} \][/tex]
3. Frecuencia Relativa:
Dividimos la frecuencia absoluta entre el número total de datos (40):
[tex]\[ \begin{aligned} &40 - 50: &\frac{2}{40} = 0.05, \\ &50 - 60: &\frac{9}{40} = 0.225, \\ &60 - 70: &\frac{8}{40} = 0.20, \\ &70 - 80: &\frac{12}{40} = 0.30, \\ &80 - 90: &\frac{7}{40} = 0.175, \\ &90 - 100: &\frac{2}{40} = 0.05 \end{aligned} \][/tex]
Resumimos la distribución de frecuencias:
[tex]\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Intervalo} & \text{Frecuencia Absoluta} & \text{Frecuencia Relativa} \\ \hline 40 - 50 & 2 & 0.05 \\ 50 - 60 & 9 & 0.225 \\ 60 - 70 & 8 & 0.20 \\ 70 - 80 & 12 & 0.30 \\ 80 - 90 & 7 & 0.175 \\ 90 - 100 & 2 & 0.05 \\ \hline \end{array} \][/tex]
### e) Gráfica de frecuencias (histograma), polígono de frecuencias y gráfica de porcentaje
1. Histograma:
Para el histograma, graficamos los intervalos en el eje x y las frecuencias absolutas en el eje y.
2. Polígono de Frecuencias:
Para el polígono de frecuencias, utilizamos los puntos medios de los intervalos en el eje x y las frecuencias absolutas en el eje y. Los puntos medios serían:
[tex]\[ \begin{aligned} &45, \\ &55, \\ &65, \\ &75, \\ &85, \\ &95 \end{aligned} \][/tex]
3. Gráfica de Porcentaje:
Para la gráfica de porcentaje, utilizamos los puntos medios de los intervalos en el eje x y los porcentajes (frecuencias relativas multiplicadas por 100) en el eje y:
[tex]\[ \begin{aligned} &5\% , \\ &22.5\%, \\ &20\%, \\ &30\%, \\ &17.5\%, \\ &5\% \end{aligned} \][/tex]
Espero que esta explicación y cálculo detallado te sean de ayuda.
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