Welcome to Westonci.ca, the Q&A platform where your questions are met with detailed answers from experienced experts. Get expert answers to your questions quickly and accurately from our dedicated community of professionals. Our platform offers a seamless experience for finding reliable answers from a network of knowledgeable professionals.
Sagot :
Para maximizar la utilidad total de la empresa, seguimos estos pasos detallados:
1. Definir las funciones de demanda, costo total, e ingreso total:
- La función de demanda nos describe la relación entre el precio [tex]\( p \)[/tex] y la cantidad [tex]\( q \)[/tex] vendida:
[tex]\[ p = 300 - 2q \][/tex]
- La función de costo total [tex]\( C(q) \)[/tex] incluye los costos fijos y variables de producir [tex]\( q \)[/tex] unidades:
[tex]\[ C(q) = 1000 + 20q + 0.4q^2 \][/tex]
- La función de ingreso total [tex]\( R(q) \)[/tex] está dada por el precio multiplicado por la cantidad:
[tex]\[ R(q) = p \cdot q = (300 - 2q) \cdot q = 300q - 2q^2 \][/tex]
2. Encontrar la función de utilidad: La utilidad [tex]\( U(q) \)[/tex] es la diferencia entre el ingreso total y el costo total:
[tex]\[ U(q) = R(q) - C(q) = (300q - 2q^2) - (1000 + 20q + 0.4q^2) \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ U(q) = 300q - 2q^2 - 1000 - 20q - 0.4q^2 = 280q - 2.4q^2 - 1000 \][/tex]
De esta manera, tenemos la función de utilidad:
[tex]\[ U(q) = 280q - 2.4q^2 - 1000 \][/tex]
3. Maximizar la utilidad: Para maximizar la utilidad, hallamos el punto en el cual la derivada de [tex]\( U(q) \)[/tex] respecto a [tex]\( q \)[/tex] es igual a cero. Esta derivada es:
[tex]\[ \frac{dU}{dq} = 280 - 4.8q \][/tex]
Igualando la derivada a cero:
[tex]\[ 280 - 4.8q = 0 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( q \)[/tex]:
[tex]\[ 4.8q = 280 \implies q = \frac{280}{4.8} = 58.\overline{3} \approx 58.333333333333336 \][/tex]
4. Calcular la utilidad máxima: Sustituimos el valor de [tex]\( q \)[/tex] obtenido en la función de utilidad para encontrar la utilidad máxima:
[tex]\[ U(58.\overline{3}) = 280(58.333333333333336) - 2.4(58.333333333333336)^2 - 1000 \][/tex]
Realizando la sustitución y simplificación:
[tex]\[ U(58.\overline{3}) = 280 \times 58.333333333333336 - 2.4 \times 3402.7777777777776 - 1000 \][/tex]
[tex]\[ U(58.\overline{3}) = 16333.333333333334 - 8166.666666666669 - 1000 \][/tex]
[tex]\[ U(58.\overline{3}) \approx 7166.666666666665 \][/tex]
Conclusión:
El nivel de producción [tex]\( q \)[/tex] que maximiza la utilidad total de la empresa es aproximadamente [tex]\( 58.333 \)[/tex] unidades por semana, y el valor de la utilidad máxima es aproximadamente $7166.67.
1. Definir las funciones de demanda, costo total, e ingreso total:
- La función de demanda nos describe la relación entre el precio [tex]\( p \)[/tex] y la cantidad [tex]\( q \)[/tex] vendida:
[tex]\[ p = 300 - 2q \][/tex]
- La función de costo total [tex]\( C(q) \)[/tex] incluye los costos fijos y variables de producir [tex]\( q \)[/tex] unidades:
[tex]\[ C(q) = 1000 + 20q + 0.4q^2 \][/tex]
- La función de ingreso total [tex]\( R(q) \)[/tex] está dada por el precio multiplicado por la cantidad:
[tex]\[ R(q) = p \cdot q = (300 - 2q) \cdot q = 300q - 2q^2 \][/tex]
2. Encontrar la función de utilidad: La utilidad [tex]\( U(q) \)[/tex] es la diferencia entre el ingreso total y el costo total:
[tex]\[ U(q) = R(q) - C(q) = (300q - 2q^2) - (1000 + 20q + 0.4q^2) \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ U(q) = 300q - 2q^2 - 1000 - 20q - 0.4q^2 = 280q - 2.4q^2 - 1000 \][/tex]
De esta manera, tenemos la función de utilidad:
[tex]\[ U(q) = 280q - 2.4q^2 - 1000 \][/tex]
3. Maximizar la utilidad: Para maximizar la utilidad, hallamos el punto en el cual la derivada de [tex]\( U(q) \)[/tex] respecto a [tex]\( q \)[/tex] es igual a cero. Esta derivada es:
[tex]\[ \frac{dU}{dq} = 280 - 4.8q \][/tex]
Igualando la derivada a cero:
[tex]\[ 280 - 4.8q = 0 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( q \)[/tex]:
[tex]\[ 4.8q = 280 \implies q = \frac{280}{4.8} = 58.\overline{3} \approx 58.333333333333336 \][/tex]
4. Calcular la utilidad máxima: Sustituimos el valor de [tex]\( q \)[/tex] obtenido en la función de utilidad para encontrar la utilidad máxima:
[tex]\[ U(58.\overline{3}) = 280(58.333333333333336) - 2.4(58.333333333333336)^2 - 1000 \][/tex]
Realizando la sustitución y simplificación:
[tex]\[ U(58.\overline{3}) = 280 \times 58.333333333333336 - 2.4 \times 3402.7777777777776 - 1000 \][/tex]
[tex]\[ U(58.\overline{3}) = 16333.333333333334 - 8166.666666666669 - 1000 \][/tex]
[tex]\[ U(58.\overline{3}) \approx 7166.666666666665 \][/tex]
Conclusión:
El nivel de producción [tex]\( q \)[/tex] que maximiza la utilidad total de la empresa es aproximadamente [tex]\( 58.333 \)[/tex] unidades por semana, y el valor de la utilidad máxima es aproximadamente $7166.67.
We hope this information was helpful. Feel free to return anytime for more answers to your questions and concerns. Your visit means a lot to us. Don't hesitate to return for more reliable answers to any questions you may have. Westonci.ca is your trusted source for answers. Visit us again to find more information on diverse topics.
