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Sagot :
Para maximizar la utilidad total de la empresa, seguimos estos pasos detallados:
1. Definir las funciones de demanda, costo total, e ingreso total:
- La función de demanda nos describe la relación entre el precio [tex]\( p \)[/tex] y la cantidad [tex]\( q \)[/tex] vendida:
[tex]\[ p = 300 - 2q \][/tex]
- La función de costo total [tex]\( C(q) \)[/tex] incluye los costos fijos y variables de producir [tex]\( q \)[/tex] unidades:
[tex]\[ C(q) = 1000 + 20q + 0.4q^2 \][/tex]
- La función de ingreso total [tex]\( R(q) \)[/tex] está dada por el precio multiplicado por la cantidad:
[tex]\[ R(q) = p \cdot q = (300 - 2q) \cdot q = 300q - 2q^2 \][/tex]
2. Encontrar la función de utilidad: La utilidad [tex]\( U(q) \)[/tex] es la diferencia entre el ingreso total y el costo total:
[tex]\[ U(q) = R(q) - C(q) = (300q - 2q^2) - (1000 + 20q + 0.4q^2) \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ U(q) = 300q - 2q^2 - 1000 - 20q - 0.4q^2 = 280q - 2.4q^2 - 1000 \][/tex]
De esta manera, tenemos la función de utilidad:
[tex]\[ U(q) = 280q - 2.4q^2 - 1000 \][/tex]
3. Maximizar la utilidad: Para maximizar la utilidad, hallamos el punto en el cual la derivada de [tex]\( U(q) \)[/tex] respecto a [tex]\( q \)[/tex] es igual a cero. Esta derivada es:
[tex]\[ \frac{dU}{dq} = 280 - 4.8q \][/tex]
Igualando la derivada a cero:
[tex]\[ 280 - 4.8q = 0 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( q \)[/tex]:
[tex]\[ 4.8q = 280 \implies q = \frac{280}{4.8} = 58.\overline{3} \approx 58.333333333333336 \][/tex]
4. Calcular la utilidad máxima: Sustituimos el valor de [tex]\( q \)[/tex] obtenido en la función de utilidad para encontrar la utilidad máxima:
[tex]\[ U(58.\overline{3}) = 280(58.333333333333336) - 2.4(58.333333333333336)^2 - 1000 \][/tex]
Realizando la sustitución y simplificación:
[tex]\[ U(58.\overline{3}) = 280 \times 58.333333333333336 - 2.4 \times 3402.7777777777776 - 1000 \][/tex]
[tex]\[ U(58.\overline{3}) = 16333.333333333334 - 8166.666666666669 - 1000 \][/tex]
[tex]\[ U(58.\overline{3}) \approx 7166.666666666665 \][/tex]
Conclusión:
El nivel de producción [tex]\( q \)[/tex] que maximiza la utilidad total de la empresa es aproximadamente [tex]\( 58.333 \)[/tex] unidades por semana, y el valor de la utilidad máxima es aproximadamente $7166.67.
1. Definir las funciones de demanda, costo total, e ingreso total:
- La función de demanda nos describe la relación entre el precio [tex]\( p \)[/tex] y la cantidad [tex]\( q \)[/tex] vendida:
[tex]\[ p = 300 - 2q \][/tex]
- La función de costo total [tex]\( C(q) \)[/tex] incluye los costos fijos y variables de producir [tex]\( q \)[/tex] unidades:
[tex]\[ C(q) = 1000 + 20q + 0.4q^2 \][/tex]
- La función de ingreso total [tex]\( R(q) \)[/tex] está dada por el precio multiplicado por la cantidad:
[tex]\[ R(q) = p \cdot q = (300 - 2q) \cdot q = 300q - 2q^2 \][/tex]
2. Encontrar la función de utilidad: La utilidad [tex]\( U(q) \)[/tex] es la diferencia entre el ingreso total y el costo total:
[tex]\[ U(q) = R(q) - C(q) = (300q - 2q^2) - (1000 + 20q + 0.4q^2) \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ U(q) = 300q - 2q^2 - 1000 - 20q - 0.4q^2 = 280q - 2.4q^2 - 1000 \][/tex]
De esta manera, tenemos la función de utilidad:
[tex]\[ U(q) = 280q - 2.4q^2 - 1000 \][/tex]
3. Maximizar la utilidad: Para maximizar la utilidad, hallamos el punto en el cual la derivada de [tex]\( U(q) \)[/tex] respecto a [tex]\( q \)[/tex] es igual a cero. Esta derivada es:
[tex]\[ \frac{dU}{dq} = 280 - 4.8q \][/tex]
Igualando la derivada a cero:
[tex]\[ 280 - 4.8q = 0 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( q \)[/tex]:
[tex]\[ 4.8q = 280 \implies q = \frac{280}{4.8} = 58.\overline{3} \approx 58.333333333333336 \][/tex]
4. Calcular la utilidad máxima: Sustituimos el valor de [tex]\( q \)[/tex] obtenido en la función de utilidad para encontrar la utilidad máxima:
[tex]\[ U(58.\overline{3}) = 280(58.333333333333336) - 2.4(58.333333333333336)^2 - 1000 \][/tex]
Realizando la sustitución y simplificación:
[tex]\[ U(58.\overline{3}) = 280 \times 58.333333333333336 - 2.4 \times 3402.7777777777776 - 1000 \][/tex]
[tex]\[ U(58.\overline{3}) = 16333.333333333334 - 8166.666666666669 - 1000 \][/tex]
[tex]\[ U(58.\overline{3}) \approx 7166.666666666665 \][/tex]
Conclusión:
El nivel de producción [tex]\( q \)[/tex] que maximiza la utilidad total de la empresa es aproximadamente [tex]\( 58.333 \)[/tex] unidades por semana, y el valor de la utilidad máxima es aproximadamente $7166.67.
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