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Sagot :
Para determinar la continuidad de la función [tex]\( f(x) \)[/tex] en el punto [tex]\( x = -2 \)[/tex], necesitamos seguir algunos pasos fundamentales: calcular los límites laterales cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\(-2\)[/tex], evaluar el valor de la función en [tex]\( x = -2 \)[/tex] y finalmente comparar estos valores para verificar si todos coinciden.
Primero, definimos la función [tex]\( f(x) \)[/tex] de la siguiente manera:
[tex]\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x + 2} & \text{si } x \neq -2 \\ -6 & \text{si } x = -2 \end{cases} \][/tex]
Vamos a calcular los límites laterales de [tex]\( f(x) \)[/tex] cuando [tex]\( x \)[/tex] tiende a [tex]\(-2\)[/tex].
1. Límite lateral izquierdo:
[tex]\[ \lim_{{x \to -2^-}} \frac{x^2 - 4}{x + 2} \][/tex]
Factorizamos el numerador [tex]\( x^2 - 4 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) \][/tex]
Entonces, la función se convierte en:
[tex]\[ \frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 2} = x - 2 \quad \text{para} \quad x \neq -2 \][/tex]
Al simplificar, nos queda evaluar el límite de [tex]\( x - 2 \)[/tex]:
[tex]\[ \lim_{{x \to -2^-}} (x - 2) = (-2) - 2 = -4 \][/tex]
2. Límite lateral derecho:
[tex]\[ \lim_{{x \to -2^+}} \frac{x^2 - 4}{x + 2} \][/tex]
De manera similar, al simplificar el numerador factorizado [tex]\( (x + 2)(x - 2) \)[/tex], obtenemos:
[tex]\[ \lim_{{x \to -2^+}} (x - 2) = (-2) - 2 = -4 \][/tex]
Entonces, hemos encontrado que ambos límites laterales son iguales:
[tex]\[ \lim_{{x \to -2^-}} f(x) = \lim_{{x \to -2^+}} f(x) = -4 \][/tex]
3. Valor de la función en [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
Según la definición de la función dada:
[tex]\[ f(-2) = -6 \][/tex]
Finalmente, comparamos todos los valores calculados:
- Límite lateral izquierdo: [tex]\(-4\)[/tex]
- Límite lateral derecho: [tex]\(-4\)[/tex]
- Valor de la función en [tex]\( x = -2 \)[/tex]: [tex]\(-6\)[/tex]
Para que la función sea continua en [tex]\( x = -2 \)[/tex], se deben cumplir las siguientes condiciones:
- Los límites laterales izquierdo y derecho deben ser iguales.
- El valor de la función en el punto debe ser igual al valor de los límites laterales.
En este caso:
[tex]\[ \lim_{{x \to -2^-}} f(x) = \lim_{{x \to -2^+}} f(x) = -4 \quad \text{y} \quad f(-2) \neq -4 \][/tex]
Dado que [tex]\( f(-2) \)[/tex] no es igual a los límites laterales, podemos concluir que la función [tex]\( f(x) \)[/tex] no es continua en [tex]\( x = -2 \)[/tex].
Primero, definimos la función [tex]\( f(x) \)[/tex] de la siguiente manera:
[tex]\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x + 2} & \text{si } x \neq -2 \\ -6 & \text{si } x = -2 \end{cases} \][/tex]
Vamos a calcular los límites laterales de [tex]\( f(x) \)[/tex] cuando [tex]\( x \)[/tex] tiende a [tex]\(-2\)[/tex].
1. Límite lateral izquierdo:
[tex]\[ \lim_{{x \to -2^-}} \frac{x^2 - 4}{x + 2} \][/tex]
Factorizamos el numerador [tex]\( x^2 - 4 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) \][/tex]
Entonces, la función se convierte en:
[tex]\[ \frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 2} = x - 2 \quad \text{para} \quad x \neq -2 \][/tex]
Al simplificar, nos queda evaluar el límite de [tex]\( x - 2 \)[/tex]:
[tex]\[ \lim_{{x \to -2^-}} (x - 2) = (-2) - 2 = -4 \][/tex]
2. Límite lateral derecho:
[tex]\[ \lim_{{x \to -2^+}} \frac{x^2 - 4}{x + 2} \][/tex]
De manera similar, al simplificar el numerador factorizado [tex]\( (x + 2)(x - 2) \)[/tex], obtenemos:
[tex]\[ \lim_{{x \to -2^+}} (x - 2) = (-2) - 2 = -4 \][/tex]
Entonces, hemos encontrado que ambos límites laterales son iguales:
[tex]\[ \lim_{{x \to -2^-}} f(x) = \lim_{{x \to -2^+}} f(x) = -4 \][/tex]
3. Valor de la función en [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
Según la definición de la función dada:
[tex]\[ f(-2) = -6 \][/tex]
Finalmente, comparamos todos los valores calculados:
- Límite lateral izquierdo: [tex]\(-4\)[/tex]
- Límite lateral derecho: [tex]\(-4\)[/tex]
- Valor de la función en [tex]\( x = -2 \)[/tex]: [tex]\(-6\)[/tex]
Para que la función sea continua en [tex]\( x = -2 \)[/tex], se deben cumplir las siguientes condiciones:
- Los límites laterales izquierdo y derecho deben ser iguales.
- El valor de la función en el punto debe ser igual al valor de los límites laterales.
En este caso:
[tex]\[ \lim_{{x \to -2^-}} f(x) = \lim_{{x \to -2^+}} f(x) = -4 \quad \text{y} \quad f(-2) \neq -4 \][/tex]
Dado que [tex]\( f(-2) \)[/tex] no es igual a los límites laterales, podemos concluir que la función [tex]\( f(x) \)[/tex] no es continua en [tex]\( x = -2 \)[/tex].
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