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Sagot :
Para determinar el rango de la función [tex]\( f(x) = |x-2| + |x-1| + 1 \)[/tex] en el intervalo [tex]\( x \in [1, 3] \)[/tex], sigamos los siguientes pasos:
1. Evaluación en los extremos del intervalo:
- Primero, evaluamos la función en los extremos del intervalo [tex]\( [1, 3] \)[/tex].
- Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ f(1) = |1-2| + |1-1| + 1 = | -1 | + 0 + 1 = 1 + 0 + 1 = 2 \][/tex]
- Para [tex]\( x = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ f(3) = |3-2| + |3-1| + 1 = | 1 | + | 2 | + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 \][/tex]
2. Evaluación dentro del intervalo:
- La función [tex]\( f(x) \)[/tex] puede tener puntos críticos en los valores donde las expresiones dentro de los valores absolutos cambian de signo. Esto ocurre en [tex]\( x = 1 \)[/tex] y [tex]\( x = 2 \)[/tex].
3. Evaluación en puntos críticos y comportamiento en el intervalo:
- Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ f(2) = |2-2| + |2-1| + 1 = 0 + 1 + 1 = 2 \][/tex]
- Para [tex]\( x \)[/tex] en el resto del intervalo [tex]\( [1, 3] \)[/tex]:
- Dividimos el intervalo en segmentos donde la expresión de los valores absolutos es constante.
- En el intervalo [tex]\( [1, 2] \)[/tex], [tex]\(|x-2| = 2-x\)[/tex] y [tex]\(|x-1| = x-1\)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = (2-x) + (x-1) + 1 = 2 - x + x - 1 + 1 = 2 \][/tex]
- En el intervalo [tex]\( (2, 3] \)[/tex], [tex]\(|x-2| = x-2\)[/tex] y [tex]\(|x-1| = x-1\)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = (x-2) + (x-1) + 1 = x - 2 + x - 1 + 1 = 2x - 2 \][/tex]
Evaluando los extremos:
[tex]\[ \text{Para } x = 2 \text{ (ya evaluamos y obtuvimos 2)} \][/tex]
[tex]\[ \text{Para } x = 3 \text{ (ya evaluamos y obtuvimos 4)} \][/tex]
4. Rango de la función:
- Hemos obtenido los valores de [tex]\( f(x) \)[/tex] desde 2 hasta 4 en el intervalo [tex]\( [1, 3] \)[/tex].
- El mínimo valor de [tex]\( f(x) \)[/tex] en este intervalo es 2.
- El máximo valor de [tex]\( f(x) \)[/tex] en este intervalo es 4.
Por lo tanto, el rango de la función [tex]\( f(x) = |x-2| + |x-1| + 1 \)[/tex] en el intervalo [tex]\( [1, 3] \)[/tex] es [tex]\([2, 4]\)[/tex].
[tex]\[ \text{El rango de la función es } [2, 4]. \][/tex]
1. Evaluación en los extremos del intervalo:
- Primero, evaluamos la función en los extremos del intervalo [tex]\( [1, 3] \)[/tex].
- Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ f(1) = |1-2| + |1-1| + 1 = | -1 | + 0 + 1 = 1 + 0 + 1 = 2 \][/tex]
- Para [tex]\( x = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ f(3) = |3-2| + |3-1| + 1 = | 1 | + | 2 | + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 \][/tex]
2. Evaluación dentro del intervalo:
- La función [tex]\( f(x) \)[/tex] puede tener puntos críticos en los valores donde las expresiones dentro de los valores absolutos cambian de signo. Esto ocurre en [tex]\( x = 1 \)[/tex] y [tex]\( x = 2 \)[/tex].
3. Evaluación en puntos críticos y comportamiento en el intervalo:
- Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ f(2) = |2-2| + |2-1| + 1 = 0 + 1 + 1 = 2 \][/tex]
- Para [tex]\( x \)[/tex] en el resto del intervalo [tex]\( [1, 3] \)[/tex]:
- Dividimos el intervalo en segmentos donde la expresión de los valores absolutos es constante.
- En el intervalo [tex]\( [1, 2] \)[/tex], [tex]\(|x-2| = 2-x\)[/tex] y [tex]\(|x-1| = x-1\)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = (2-x) + (x-1) + 1 = 2 - x + x - 1 + 1 = 2 \][/tex]
- En el intervalo [tex]\( (2, 3] \)[/tex], [tex]\(|x-2| = x-2\)[/tex] y [tex]\(|x-1| = x-1\)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = (x-2) + (x-1) + 1 = x - 2 + x - 1 + 1 = 2x - 2 \][/tex]
Evaluando los extremos:
[tex]\[ \text{Para } x = 2 \text{ (ya evaluamos y obtuvimos 2)} \][/tex]
[tex]\[ \text{Para } x = 3 \text{ (ya evaluamos y obtuvimos 4)} \][/tex]
4. Rango de la función:
- Hemos obtenido los valores de [tex]\( f(x) \)[/tex] desde 2 hasta 4 en el intervalo [tex]\( [1, 3] \)[/tex].
- El mínimo valor de [tex]\( f(x) \)[/tex] en este intervalo es 2.
- El máximo valor de [tex]\( f(x) \)[/tex] en este intervalo es 4.
Por lo tanto, el rango de la función [tex]\( f(x) = |x-2| + |x-1| + 1 \)[/tex] en el intervalo [tex]\( [1, 3] \)[/tex] es [tex]\([2, 4]\)[/tex].
[tex]\[ \text{El rango de la función es } [2, 4]. \][/tex]
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