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Sagot :
Por supuesto, vamos a resolver los ejercicios de equilibrio de mercado y excedentes de forma detallada:
### a. Punto de equilibrio del mercado (PE)
Para hallar el punto de equilibrio, necesitamos encontrar la cantidad de equilibrio [tex]\( Q_e \)[/tex] y el precio de equilibrio [tex]\( P_e \)[/tex]. Esto se hace igualando las ecuaciones de demanda y oferta:
Ecuaciones dadas:
- Demanda: [tex]\( P = 4300 - Q \)[/tex]
- Oferta: [tex]\( P = 960 + 2Q \)[/tex]
Igualamos las dos ecuaciones para encontrar [tex]\( Q_e \)[/tex]:
[tex]\[ 4300 - Q = 960 + 2Q \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( Q \)[/tex]:
[tex]\[ 4300 - 960 = 2Q + Q \][/tex]
[tex]\[ 3340 = 3Q \][/tex]
[tex]\[ Q_e = \frac{3340}{3} \approx 1113.33 \][/tex]
Ahora sustituimos [tex]\( Q_e \)[/tex] en cualquiera de las dos ecuaciones (usaremos la ecuación de demanda) para encontrar [tex]\( P_e \)[/tex]:
[tex]\[ P_e = 4300 - Q_e \][/tex]
[tex]\[ P_e = 4300 - 1113.33 \approx 3186.67 \][/tex]
Entonces, el punto de equilibrio es [tex]\( Q_e \approx 1113.33 \)[/tex] y [tex]\( P_e \approx 3186.67 \)[/tex].
### b. Excedentes del consumidor, productor y total
Excedente del Consumidor (EC):
El excedente del consumidor es el área entre la curva de demanda y el precio de equilibrio, desde [tex]\( Q = 0 \)[/tex] hasta [tex]\( Q = Q_e \)[/tex].
[tex]\[ EC = \int_{0}^{Q_e} (4300 - Q) \, dQ - P_e \times Q_e \][/tex]
Calculamos la integral y luego restamos el valor total gastado a precio de equilibrio:
[tex]\[ \int (4300 - Q) \, dQ = 4300Q - \frac{Q^2}{2} \][/tex]
Evaluamos desde [tex]\( 0 \)[/tex] hasta [tex]\( Q_e \)[/tex]:
[tex]\[ EC = \left[ 4300Q - \frac{Q^2}{2} \right] _{0}^{1113.33} - 3186.67 \times 1113.33 \][/tex]
[tex]\[ = \left[ 4300 \times 1113.33 - \frac{1113.33^2}{2} \right] - (3186.67 \times 1113.33) \][/tex]
[tex]\[ = (4787322.9 - 620000.88) - 3549325.14 \][/tex]
[tex]\[ = 4167322.02 - 3549325.14 \][/tex]
[tex]\[ EC \approx 617996.88 \][/tex]
Excedente del Productor (EP):
El excedente del productor es el área entre el precio de equilibrio y la curva de oferta, desde [tex]\( Q = 0 \)[/tex] hasta [tex]\( Q = Q_e \)[/tex].
[tex]\[ EP = P_e \times Q_e - \int_{0}^{Q_e} (960 + 2Q) \, dQ \][/tex]
Calculamos la integral y luego restamos el costo total de producción:
[tex]\[ \int (960 + 2Q) \, dQ = 960Q + Q^2 \][/tex]
Evaluamos desde [tex]\( 0 \)[/tex] hasta [tex]\( Q_e \)[/tex]:
[tex]\[ EP = 3186.67 \times 1113.33 - \left[ 960Q + Q^2 \right] _{0}^{1113.33} \][/tex]
[tex]\[ = 3549325.14 - \left[ 960 \times 1113.33 + 1113.33^2 \right] \][/tex]
[tex]\[ = 3549325.14 - (1068796.80 + 1230127.56) \][/tex]
[tex]\[ = 3549325.14 - 2308924.36 \][/tex]
[tex]\[ EP \approx 1240400.78 \][/tex]
Excedente Total (ET):
El excedente total es la suma del excedente del consumidor y el excedente del productor:
[tex]\[ ET = EC + EP \][/tex]
[tex]\[ ET = 617996.88 + 1240400.78 \][/tex]
[tex]\[ ET \approx 1858397.66 \][/tex]
### c. Gráfico:
1. Curva de Demanda: [tex]\( P = 4300 - Q \)[/tex]
2. Curva de Oferta: [tex]\( P = 960 + 2Q \)[/tex]
3. Punto de Equilibrio: ([tex]\( Q_e \approx 1113.33 \)[/tex], [tex]\( P_e \approx 3186.67 \)[/tex])
4. Área de Excedente del Consumidor: Área encima del precio de equilibrio y debajo de la curva de demanda, desde [tex]\( Q = 0 \)[/tex] hasta [tex]\( Q = Q_e \)[/tex].
5. Área de Excedente del Productor: Área debajo del precio de equilibrio y encima de la curva de oferta, desde [tex]\( Q = 0 \)[/tex] hasta [tex]\( Q = Q_e \)[/tex].
Nota: Para graficar, se requiere un software o herramienta adecuada (como GeoGebra, Excel, etc.), aquí se ha delineado cómo el gráfico debería lucir en términos generales.
### d. Resultados en la caja del solucionario:
[tex]\[ \boxed{ \begin{align*} Q_e & = 1113.33 \\ P_e & = 3186.67 \\ EC & = 617996.88 \\ EP & = 1240400.78 \\ ET & = 1858397.66 \end{align*} } \][/tex]
De esta manera, hemos resuelto los ejercicios a partir de las funciones de demanda y oferta dadas, y también hemos calculado los excedentes del consumidor, productor y total, además de delinear cómo se debe graficar el problema.
### a. Punto de equilibrio del mercado (PE)
Para hallar el punto de equilibrio, necesitamos encontrar la cantidad de equilibrio [tex]\( Q_e \)[/tex] y el precio de equilibrio [tex]\( P_e \)[/tex]. Esto se hace igualando las ecuaciones de demanda y oferta:
Ecuaciones dadas:
- Demanda: [tex]\( P = 4300 - Q \)[/tex]
- Oferta: [tex]\( P = 960 + 2Q \)[/tex]
Igualamos las dos ecuaciones para encontrar [tex]\( Q_e \)[/tex]:
[tex]\[ 4300 - Q = 960 + 2Q \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( Q \)[/tex]:
[tex]\[ 4300 - 960 = 2Q + Q \][/tex]
[tex]\[ 3340 = 3Q \][/tex]
[tex]\[ Q_e = \frac{3340}{3} \approx 1113.33 \][/tex]
Ahora sustituimos [tex]\( Q_e \)[/tex] en cualquiera de las dos ecuaciones (usaremos la ecuación de demanda) para encontrar [tex]\( P_e \)[/tex]:
[tex]\[ P_e = 4300 - Q_e \][/tex]
[tex]\[ P_e = 4300 - 1113.33 \approx 3186.67 \][/tex]
Entonces, el punto de equilibrio es [tex]\( Q_e \approx 1113.33 \)[/tex] y [tex]\( P_e \approx 3186.67 \)[/tex].
### b. Excedentes del consumidor, productor y total
Excedente del Consumidor (EC):
El excedente del consumidor es el área entre la curva de demanda y el precio de equilibrio, desde [tex]\( Q = 0 \)[/tex] hasta [tex]\( Q = Q_e \)[/tex].
[tex]\[ EC = \int_{0}^{Q_e} (4300 - Q) \, dQ - P_e \times Q_e \][/tex]
Calculamos la integral y luego restamos el valor total gastado a precio de equilibrio:
[tex]\[ \int (4300 - Q) \, dQ = 4300Q - \frac{Q^2}{2} \][/tex]
Evaluamos desde [tex]\( 0 \)[/tex] hasta [tex]\( Q_e \)[/tex]:
[tex]\[ EC = \left[ 4300Q - \frac{Q^2}{2} \right] _{0}^{1113.33} - 3186.67 \times 1113.33 \][/tex]
[tex]\[ = \left[ 4300 \times 1113.33 - \frac{1113.33^2}{2} \right] - (3186.67 \times 1113.33) \][/tex]
[tex]\[ = (4787322.9 - 620000.88) - 3549325.14 \][/tex]
[tex]\[ = 4167322.02 - 3549325.14 \][/tex]
[tex]\[ EC \approx 617996.88 \][/tex]
Excedente del Productor (EP):
El excedente del productor es el área entre el precio de equilibrio y la curva de oferta, desde [tex]\( Q = 0 \)[/tex] hasta [tex]\( Q = Q_e \)[/tex].
[tex]\[ EP = P_e \times Q_e - \int_{0}^{Q_e} (960 + 2Q) \, dQ \][/tex]
Calculamos la integral y luego restamos el costo total de producción:
[tex]\[ \int (960 + 2Q) \, dQ = 960Q + Q^2 \][/tex]
Evaluamos desde [tex]\( 0 \)[/tex] hasta [tex]\( Q_e \)[/tex]:
[tex]\[ EP = 3186.67 \times 1113.33 - \left[ 960Q + Q^2 \right] _{0}^{1113.33} \][/tex]
[tex]\[ = 3549325.14 - \left[ 960 \times 1113.33 + 1113.33^2 \right] \][/tex]
[tex]\[ = 3549325.14 - (1068796.80 + 1230127.56) \][/tex]
[tex]\[ = 3549325.14 - 2308924.36 \][/tex]
[tex]\[ EP \approx 1240400.78 \][/tex]
Excedente Total (ET):
El excedente total es la suma del excedente del consumidor y el excedente del productor:
[tex]\[ ET = EC + EP \][/tex]
[tex]\[ ET = 617996.88 + 1240400.78 \][/tex]
[tex]\[ ET \approx 1858397.66 \][/tex]
### c. Gráfico:
1. Curva de Demanda: [tex]\( P = 4300 - Q \)[/tex]
2. Curva de Oferta: [tex]\( P = 960 + 2Q \)[/tex]
3. Punto de Equilibrio: ([tex]\( Q_e \approx 1113.33 \)[/tex], [tex]\( P_e \approx 3186.67 \)[/tex])
4. Área de Excedente del Consumidor: Área encima del precio de equilibrio y debajo de la curva de demanda, desde [tex]\( Q = 0 \)[/tex] hasta [tex]\( Q = Q_e \)[/tex].
5. Área de Excedente del Productor: Área debajo del precio de equilibrio y encima de la curva de oferta, desde [tex]\( Q = 0 \)[/tex] hasta [tex]\( Q = Q_e \)[/tex].
Nota: Para graficar, se requiere un software o herramienta adecuada (como GeoGebra, Excel, etc.), aquí se ha delineado cómo el gráfico debería lucir en términos generales.
### d. Resultados en la caja del solucionario:
[tex]\[ \boxed{ \begin{align*} Q_e & = 1113.33 \\ P_e & = 3186.67 \\ EC & = 617996.88 \\ EP & = 1240400.78 \\ ET & = 1858397.66 \end{align*} } \][/tex]
De esta manera, hemos resuelto los ejercicios a partir de las funciones de demanda y oferta dadas, y también hemos calculado los excedentes del consumidor, productor y total, además de delinear cómo se debe graficar el problema.
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