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Sagot :
Vamos a clasificar los siguientes números decimales y convertirlos en sus correspondientes fracciones, mostrando el procedimiento y las operaciones utilizadas. También simplificaremos las fracciones cuando sea posible.
### a) 0,25
Clasificación: Decimal exacto.
Para convertir 0.25 a fracción:
[tex]\[ 0.25 = \frac{25}{100} \][/tex]
Simplificamos dividiendo numerador y denominador por su máximo común divisor, que es 25:
[tex]\[ \frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4} \][/tex]
Entonces, 0,25 como fracción simplificada es:
[tex]\[ 0,25 = \frac{1}{4} \][/tex]
### d) [tex]\(4,3 \widehat{82}\)[/tex]
Clasificación: Decimal periódico puro.
Para convertir [tex]\(4,3 \widehat{82}\)[/tex] a fracción, primero consideremos la parte periódica [tex]\( \widehat{82} \)[/tex]:
Sea [tex]\( x = 0.\widehat{82} \)[/tex].
Esto implica que:
[tex]\[ 100x = 82.\widehat{82} \][/tex]
Restamos la primera ecuación de la segunda:
[tex]\[ 100x - x = 82.\widehat{82} - 0.\widehat{82} \][/tex]
[tex]\[ 99x = 82 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{82}{99} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 0.\widehat{82} = \frac{82}{99} \][/tex]
Ahora consideramos la parte entera [tex]\(4.3\)[/tex]:
[tex]\[ 4,3 \widehat{82} = 4 + 0.3 + 0.\widehat{82} \][/tex]
Convertimos 0.3 a fracción:
[tex]\[ 0.3 = \frac{3}{10} \][/tex]
Sumamos las fracciones:
[tex]\[ 4 + \frac{3}{10} + \frac{82}{99} \][/tex]
Primero igualamos los denominadores:
Convertimos [tex]\(\frac{3}{10}\)[/tex] al denominador 990:
[tex]\[ \frac{3}{10} = \frac{3 \times 99}{10 \times 99} = \frac{297}{990} \][/tex]
Convertimos [tex]\(\frac{82}{99}\)[/tex] al denominador 990:
[tex]\[ \frac{82}{99} = \frac{82 \times 10}{99 \times 10} = \frac{820}{990} \][/tex]
Así, la suma se convierte en:
[tex]\[ 4 + \frac{297 + 820}{990} = 4 + \frac{1117}{990} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 4,3 \widehat{82} = 4 + \frac{1117}{990} \][/tex]
[tex]\[ 4,3 \widehat{82} = 4.38208208208208 \][/tex]
### b) 1,25
Clasificación: Decimal exacto.
Para convertir 1.25 a fracción:
[tex]\[ 1.25 = \frac{125}{100} \][/tex]
Simplificamos dividiendo numerador y denominador por su máximo común divisor, que es 25:
[tex]\[ \frac{125}{100} = \frac{125 \div 25}{100 \div 25} = \frac{5}{4} \][/tex]
Entonces, 1,25 como fracción simplificada es:
[tex]\[ 1,25 = \frac{5}{4} \][/tex]
### e) [tex]\(1, \widehat{3}\)[/tex]
Clasificación: Decimal periódico puro.
Para convertir [tex]\(1, \widehat{3}\)[/tex] a fracción, consideramos primero la parte periódica [tex]\( \widehat{3} \)[/tex]:
Sea [tex]\( y = 0.\widehat{3} \)[/tex].
Esto implica que:
[tex]\[ 10y = 3.\widehat{3} \][/tex]
Restamos la primera ecuación de la segunda:
[tex]\[ 10y - y = 3.\widehat{3} - 0.\widehat{3} \][/tex]
[tex]\[ 9y = 3 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{3}{9} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1}{3} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 0.\widehat{3} = \frac{1}{3} \][/tex]
Ahora consideramos el 1:
[tex]\[ 1, \widehat{3} = 1 + 0.\widehat{3} = 1 + \frac{1}{3} \][/tex]
Sumamos las fracciones:
[tex]\[ 1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \][/tex]
Entonces, [tex]\(1, \widehat{3}\)[/tex] como fracción es:
[tex]\[ 1, \widehat{3} = \frac{4}{3} \][/tex]
### c) [tex]\(3,12 \widehat{3}\)[/tex]
Clasificación: Decimal periódico mixto.
Para convertir [tex]\(3,12 \widehat{3}\)[/tex] a fracción, primero consideramos la parte periódica [tex]\( \widehat{3} \)[/tex]:
Sea [tex]\( z = 0.12\widehat{3} \)[/tex].
Esto implica que:
[tex]\[ 1000z = 123.\widehat{3} \][/tex]
[tex]\[ 10z = 1.23\widehat{3} \][/tex]
Restamos la segunda ecuación de la primera:
[tex]\[ 1000z - 10z = 123.\widehat{3} - 1.23\widehat{3} \][/tex]
[tex]\[ 990z = 122 \][/tex]
[tex]\[ z = \frac{122}{990} \][/tex]
Simplificamos la fracción dividiendo numerador y denominador por su máximo común divisor, que es 2:
[tex]\[ \frac{122}{990} = \frac{122 \div 2}{990 \div 2} = \frac{61}{495} \][/tex]
Ahora consideramos el 3.12:
[tex]\[ 3.12 \widehat{3} = 3 + 0.12 + 0.12\widehat{3} \][/tex]
Convertimos 0.12 a fracción:
[tex]\[ 0.12 = \frac{12}{100} = \frac{3}{25} \][/tex]
Sumamos las fracciones:
[tex]\[ 3 + \frac{3}{25} + \frac{61}{495} \][/tex]
Primero igualamos los denominadores:
Convertimos [tex]\(\frac{3}{25}\)[/tex] al denominador 495:
[tex]\[ \frac{3}{25} = \frac{3 \times 19.8}{25 \times 19.8} = \frac{59.4}{495} \][/tex]
Sumamos las fracciones:
[tex]\[ 3 + \frac{59.4 + 61}{495} = 3 + \frac{120.4}{495} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 3,12 \widehat{3} = 3 + 0.24424242424242 = 3.24424242424242 \][/tex]
En resumen, las fracciones convertidas y simplificadas son:
a) [tex]\(0,25 = \frac{1}{4}\)[/tex]
b) [tex]\(1,25 = \frac{5}{4}\)[/tex]
c) [tex]\(3,12 \widehat{3} = 3.24424242424242\)[/tex]
d) [tex]\(4,3 \widehat{82} = 4.38208208208208\)[/tex]
e) [tex]\(1, \widehat{3} = \frac{4}{3}\)[/tex]
### a) 0,25
Clasificación: Decimal exacto.
Para convertir 0.25 a fracción:
[tex]\[ 0.25 = \frac{25}{100} \][/tex]
Simplificamos dividiendo numerador y denominador por su máximo común divisor, que es 25:
[tex]\[ \frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4} \][/tex]
Entonces, 0,25 como fracción simplificada es:
[tex]\[ 0,25 = \frac{1}{4} \][/tex]
### d) [tex]\(4,3 \widehat{82}\)[/tex]
Clasificación: Decimal periódico puro.
Para convertir [tex]\(4,3 \widehat{82}\)[/tex] a fracción, primero consideremos la parte periódica [tex]\( \widehat{82} \)[/tex]:
Sea [tex]\( x = 0.\widehat{82} \)[/tex].
Esto implica que:
[tex]\[ 100x = 82.\widehat{82} \][/tex]
Restamos la primera ecuación de la segunda:
[tex]\[ 100x - x = 82.\widehat{82} - 0.\widehat{82} \][/tex]
[tex]\[ 99x = 82 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{82}{99} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 0.\widehat{82} = \frac{82}{99} \][/tex]
Ahora consideramos la parte entera [tex]\(4.3\)[/tex]:
[tex]\[ 4,3 \widehat{82} = 4 + 0.3 + 0.\widehat{82} \][/tex]
Convertimos 0.3 a fracción:
[tex]\[ 0.3 = \frac{3}{10} \][/tex]
Sumamos las fracciones:
[tex]\[ 4 + \frac{3}{10} + \frac{82}{99} \][/tex]
Primero igualamos los denominadores:
Convertimos [tex]\(\frac{3}{10}\)[/tex] al denominador 990:
[tex]\[ \frac{3}{10} = \frac{3 \times 99}{10 \times 99} = \frac{297}{990} \][/tex]
Convertimos [tex]\(\frac{82}{99}\)[/tex] al denominador 990:
[tex]\[ \frac{82}{99} = \frac{82 \times 10}{99 \times 10} = \frac{820}{990} \][/tex]
Así, la suma se convierte en:
[tex]\[ 4 + \frac{297 + 820}{990} = 4 + \frac{1117}{990} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 4,3 \widehat{82} = 4 + \frac{1117}{990} \][/tex]
[tex]\[ 4,3 \widehat{82} = 4.38208208208208 \][/tex]
### b) 1,25
Clasificación: Decimal exacto.
Para convertir 1.25 a fracción:
[tex]\[ 1.25 = \frac{125}{100} \][/tex]
Simplificamos dividiendo numerador y denominador por su máximo común divisor, que es 25:
[tex]\[ \frac{125}{100} = \frac{125 \div 25}{100 \div 25} = \frac{5}{4} \][/tex]
Entonces, 1,25 como fracción simplificada es:
[tex]\[ 1,25 = \frac{5}{4} \][/tex]
### e) [tex]\(1, \widehat{3}\)[/tex]
Clasificación: Decimal periódico puro.
Para convertir [tex]\(1, \widehat{3}\)[/tex] a fracción, consideramos primero la parte periódica [tex]\( \widehat{3} \)[/tex]:
Sea [tex]\( y = 0.\widehat{3} \)[/tex].
Esto implica que:
[tex]\[ 10y = 3.\widehat{3} \][/tex]
Restamos la primera ecuación de la segunda:
[tex]\[ 10y - y = 3.\widehat{3} - 0.\widehat{3} \][/tex]
[tex]\[ 9y = 3 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{3}{9} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1}{3} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 0.\widehat{3} = \frac{1}{3} \][/tex]
Ahora consideramos el 1:
[tex]\[ 1, \widehat{3} = 1 + 0.\widehat{3} = 1 + \frac{1}{3} \][/tex]
Sumamos las fracciones:
[tex]\[ 1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \][/tex]
Entonces, [tex]\(1, \widehat{3}\)[/tex] como fracción es:
[tex]\[ 1, \widehat{3} = \frac{4}{3} \][/tex]
### c) [tex]\(3,12 \widehat{3}\)[/tex]
Clasificación: Decimal periódico mixto.
Para convertir [tex]\(3,12 \widehat{3}\)[/tex] a fracción, primero consideramos la parte periódica [tex]\( \widehat{3} \)[/tex]:
Sea [tex]\( z = 0.12\widehat{3} \)[/tex].
Esto implica que:
[tex]\[ 1000z = 123.\widehat{3} \][/tex]
[tex]\[ 10z = 1.23\widehat{3} \][/tex]
Restamos la segunda ecuación de la primera:
[tex]\[ 1000z - 10z = 123.\widehat{3} - 1.23\widehat{3} \][/tex]
[tex]\[ 990z = 122 \][/tex]
[tex]\[ z = \frac{122}{990} \][/tex]
Simplificamos la fracción dividiendo numerador y denominador por su máximo común divisor, que es 2:
[tex]\[ \frac{122}{990} = \frac{122 \div 2}{990 \div 2} = \frac{61}{495} \][/tex]
Ahora consideramos el 3.12:
[tex]\[ 3.12 \widehat{3} = 3 + 0.12 + 0.12\widehat{3} \][/tex]
Convertimos 0.12 a fracción:
[tex]\[ 0.12 = \frac{12}{100} = \frac{3}{25} \][/tex]
Sumamos las fracciones:
[tex]\[ 3 + \frac{3}{25} + \frac{61}{495} \][/tex]
Primero igualamos los denominadores:
Convertimos [tex]\(\frac{3}{25}\)[/tex] al denominador 495:
[tex]\[ \frac{3}{25} = \frac{3 \times 19.8}{25 \times 19.8} = \frac{59.4}{495} \][/tex]
Sumamos las fracciones:
[tex]\[ 3 + \frac{59.4 + 61}{495} = 3 + \frac{120.4}{495} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 3,12 \widehat{3} = 3 + 0.24424242424242 = 3.24424242424242 \][/tex]
En resumen, las fracciones convertidas y simplificadas son:
a) [tex]\(0,25 = \frac{1}{4}\)[/tex]
b) [tex]\(1,25 = \frac{5}{4}\)[/tex]
c) [tex]\(3,12 \widehat{3} = 3.24424242424242\)[/tex]
d) [tex]\(4,3 \widehat{82} = 4.38208208208208\)[/tex]
e) [tex]\(1, \widehat{3} = \frac{4}{3}\)[/tex]
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