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Sagot :
Claro, vamos a realizar las divisiones de polinomios paso a paso.
### Parte (a) [tex]$\left(x^2 + 12x + 4\right) : (x - 2)$[/tex]
1. Dividendo y divisor
Dividendo: [tex]\(x^2 + 12x + 4\)[/tex]
Divisor: [tex]\(x - 2\)[/tex]
2. Primer término del cociente
Dividimos el primer término del dividendo ([tex]\(x^2\)[/tex]) entre el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[ \frac{x^2}{x} = x \][/tex]
Así que el primer término del cociente es [tex]\(x\)[/tex].
3. Multiplicación y resta
Multiplicamos el cociente parcial ([tex]\(x\)[/tex]) por el divisor ([tex]\(x - 2\)[/tex]):
[tex]\[ x \cdot (x - 2) = x^2 - 2x \][/tex]
Ahora restamos esto del dividendo original:
[tex]\[ (x^2 + 12x + 4) - (x^2 - 2x) = 14x + 4 \][/tex]
4. Segundo término del cociente
Dividimos el primer término del nuevo dividendo ([tex]\(14x\)[/tex]) entre el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[ \frac{14x}{x} = 14 \][/tex]
Así que el segundo término del cociente es [tex]\(14\)[/tex].
5. Multiplicación y resta
Multiplicamos este término del cociente ([tex]\(14\)[/tex]) por el divisor ([tex]\(x - 2\)[/tex]):
[tex]\[ 14 \cdot (x - 2) = 14x - 28 \][/tex]
Ahora restamos esto del nuevo dividendo:
[tex]\[ (14x + 4) - (14x - 28) = 32 \][/tex]
6. Resultado de la división
Ya que el grado del residuo ([tex]\(32\)[/tex]) es menor que el grado del divisor ([tex]\(1\)[/tex]), terminamos aquí.
El cociente es [tex]\(x + 14\)[/tex] y el residuo es [tex]\(32\)[/tex].
Entonces,
[tex]\[ \left(x^2 + 12x + 4\right) : (x - 2) = x + 14 \quad \text{con residuo} \quad 32 \][/tex]
### Parte (b) [tex]$\left(x^3 - 1\right) : (x - 1)$[/tex]
1. Dividendo y divisor
Dividendo: [tex]\(x^3 - 1\)[/tex]
Divisor: [tex]\(x - 1\)[/tex]
2. Primer término del cociente
Dividimos el primer término del dividendo ([tex]\(x^3\)[/tex]) entre el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[ \frac{x^3}{x} = x^2 \][/tex]
Así que el primer término del cociente es [tex]\(x^2\)[/tex].
3. Multiplicación y resta
Multiplicamos el cociente parcial ([tex]\(x^2\)[/tex]) por el divisor ([tex]\(x - 1\)[/tex]):
[tex]\[ x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2 \][/tex]
Ahora restamos esto del dividendo original:
[tex]\[ (x^3 - 1) - (x^3 - x^2) = x^2 - 1 \][/tex]
4. Segundo término del cociente
Dividimos el primer término del nuevo dividendo ([tex]\(x^2\)[/tex]) entre el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[ \frac{x^2}{x} = x \][/tex]
Así que el segundo término del cociente es [tex]\(x\)[/tex].
5. Multiplicación y resta
Multiplicamos este término del cociente ([tex]\(x\)[/tex]) por el divisor ([tex]\(x - 1\)[/tex]):
[tex]\[ x \cdot (x - 1) = x^2 - x \][/tex]
Ahora restamos esto del nuevo dividendo:
[tex]\[ (x^2 - 1) - (x^2 - x) = x - 1 \][/tex]
6. Tercer término del cociente
Dividimos el primer término del nuevo dividendo ([tex]\(x\)[/tex]) entre el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[ \frac{x}{x} = 1 \][/tex]
Así que el tercer término del cociente es [tex]\(1\)[/tex].
7. Multiplicación y resta
Multiplicamos este término del cociente ([tex]\(1\)[/tex]) por el divisor ([tex]\(x - 1\)[/tex]):
[tex]\[ 1 \cdot (x - 1) = x - 1 \][/tex]
Ahora restamos esto del nuevo dividendo:
[tex]\[ (x - 1) - (x - 1) = 0 \][/tex]
8. Resultado de la división
Ya que el residuo es [tex]\(0\)[/tex], terminamos aquí.
El cociente es [tex]\(x^2 + x + 1\)[/tex] y el residuo es [tex]\(0\)[/tex].
Entonces,
[tex]\[ \left(x^3 - 1\right) : (x - 1) = x^2 + x + 1 \quad \text{con residuo} \quad 0 \][/tex]
Espero que esta explicación detallada te haya ayudado a entender el proceso de la división de polinomios.
### Parte (a) [tex]$\left(x^2 + 12x + 4\right) : (x - 2)$[/tex]
1. Dividendo y divisor
Dividendo: [tex]\(x^2 + 12x + 4\)[/tex]
Divisor: [tex]\(x - 2\)[/tex]
2. Primer término del cociente
Dividimos el primer término del dividendo ([tex]\(x^2\)[/tex]) entre el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[ \frac{x^2}{x} = x \][/tex]
Así que el primer término del cociente es [tex]\(x\)[/tex].
3. Multiplicación y resta
Multiplicamos el cociente parcial ([tex]\(x\)[/tex]) por el divisor ([tex]\(x - 2\)[/tex]):
[tex]\[ x \cdot (x - 2) = x^2 - 2x \][/tex]
Ahora restamos esto del dividendo original:
[tex]\[ (x^2 + 12x + 4) - (x^2 - 2x) = 14x + 4 \][/tex]
4. Segundo término del cociente
Dividimos el primer término del nuevo dividendo ([tex]\(14x\)[/tex]) entre el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[ \frac{14x}{x} = 14 \][/tex]
Así que el segundo término del cociente es [tex]\(14\)[/tex].
5. Multiplicación y resta
Multiplicamos este término del cociente ([tex]\(14\)[/tex]) por el divisor ([tex]\(x - 2\)[/tex]):
[tex]\[ 14 \cdot (x - 2) = 14x - 28 \][/tex]
Ahora restamos esto del nuevo dividendo:
[tex]\[ (14x + 4) - (14x - 28) = 32 \][/tex]
6. Resultado de la división
Ya que el grado del residuo ([tex]\(32\)[/tex]) es menor que el grado del divisor ([tex]\(1\)[/tex]), terminamos aquí.
El cociente es [tex]\(x + 14\)[/tex] y el residuo es [tex]\(32\)[/tex].
Entonces,
[tex]\[ \left(x^2 + 12x + 4\right) : (x - 2) = x + 14 \quad \text{con residuo} \quad 32 \][/tex]
### Parte (b) [tex]$\left(x^3 - 1\right) : (x - 1)$[/tex]
1. Dividendo y divisor
Dividendo: [tex]\(x^3 - 1\)[/tex]
Divisor: [tex]\(x - 1\)[/tex]
2. Primer término del cociente
Dividimos el primer término del dividendo ([tex]\(x^3\)[/tex]) entre el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[ \frac{x^3}{x} = x^2 \][/tex]
Así que el primer término del cociente es [tex]\(x^2\)[/tex].
3. Multiplicación y resta
Multiplicamos el cociente parcial ([tex]\(x^2\)[/tex]) por el divisor ([tex]\(x - 1\)[/tex]):
[tex]\[ x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2 \][/tex]
Ahora restamos esto del dividendo original:
[tex]\[ (x^3 - 1) - (x^3 - x^2) = x^2 - 1 \][/tex]
4. Segundo término del cociente
Dividimos el primer término del nuevo dividendo ([tex]\(x^2\)[/tex]) entre el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[ \frac{x^2}{x} = x \][/tex]
Así que el segundo término del cociente es [tex]\(x\)[/tex].
5. Multiplicación y resta
Multiplicamos este término del cociente ([tex]\(x\)[/tex]) por el divisor ([tex]\(x - 1\)[/tex]):
[tex]\[ x \cdot (x - 1) = x^2 - x \][/tex]
Ahora restamos esto del nuevo dividendo:
[tex]\[ (x^2 - 1) - (x^2 - x) = x - 1 \][/tex]
6. Tercer término del cociente
Dividimos el primer término del nuevo dividendo ([tex]\(x\)[/tex]) entre el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[ \frac{x}{x} = 1 \][/tex]
Así que el tercer término del cociente es [tex]\(1\)[/tex].
7. Multiplicación y resta
Multiplicamos este término del cociente ([tex]\(1\)[/tex]) por el divisor ([tex]\(x - 1\)[/tex]):
[tex]\[ 1 \cdot (x - 1) = x - 1 \][/tex]
Ahora restamos esto del nuevo dividendo:
[tex]\[ (x - 1) - (x - 1) = 0 \][/tex]
8. Resultado de la división
Ya que el residuo es [tex]\(0\)[/tex], terminamos aquí.
El cociente es [tex]\(x^2 + x + 1\)[/tex] y el residuo es [tex]\(0\)[/tex].
Entonces,
[tex]\[ \left(x^3 - 1\right) : (x - 1) = x^2 + x + 1 \quad \text{con residuo} \quad 0 \][/tex]
Espero que esta explicación detallada te haya ayudado a entender el proceso de la división de polinomios.
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