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Cierta compañía de agua embotellada determinó que el consumo de su producto estaba dado por la función [tex]f(x)=10+0.029 x^2[/tex], donde [tex]f(x)[/tex] describe la cantidad en millones de consumidores de su producto, considerando desde 2000 a 2015 ([tex]x=0[/tex] corresponde al año 2000).

a) Representa la gráfica de la función que corresponda al año 2000.

b) Proporciona la nueva función y la gráfica de modo que el origen corresponda al año 2005.

c) ¿Cuántas personas tomaron agua embotellada de dicha compañía para el año 2015?

Sagot :

GinnyAnswer
Claro, vamos a resolver este problema paso a paso.

### Parte (a)
Primero, necesitamos representar la gráfica de la función original [tex]\( f(x) = 10 + 0.029x^2 \)[/tex]. Esta función expresa la cantidad de consumidores en millones desde el año 2000, donde [tex]\( x = 0 \)[/tex] corresponde al 2000.

- Para [tex]\( x = 0 \)[/tex] (año 2000):
[tex]\( f(0) = 10 + 0.029 \cdot 0^2 = 10 \)[/tex]

Esta función es una parábola que se abre hacia arriba con vértice en el punto [tex]\((0, 10)\)[/tex].

### Parte (b)
Ahora, debemos redefinir la función para que el origen corresponda al año 2005. En el nuevo sistema de coordenadas, [tex]\( x = 0 \)[/tex] corresponde al año 2005. Originalmente, [tex]\( x = 5 \)[/tex] es el año 2005.

Para obtener la nueva función [tex]\( g(x) \)[/tex], sustituiremos [tex]\( x \)[/tex] por [tex]\( x + 5 \)[/tex] en la función original [tex]\( f(x) \)[/tex]:

[tex]\[ g(x) = 10 + 0.029(x + 5)^2 \][/tex]

- Para [tex]\( x = 0 \)[/tex] (año 2005 en la nueva función):
[tex]\( g(0) = 10 + 0.029 \cdot 5^2 = 10 + 0.029 \cdot 25 = 10 + 0.725 = 10.725 \)[/tex]

- Para [tex]\( x = 10 \)[/tex] (año 2015 en la nueva función):
[tex]\( g(10) = 10 + 0.029 \cdot (10 + 5)^2 = 10 + 0.029 \cdot 15^2 = 10 + 0.029 \cdot 225 = 10 + 6.525 = 16.525 \)[/tex]

### Parte (c)
Finalmente, necesitamos calcular el número de consumidores de agua embotellada para el año 2015 usando la función original [tex]\( f(x) \)[/tex] donde [tex]\( x = 15 \)[/tex] (2015 - 2000 = 15):

- Para [tex]\( x = 15 \)[/tex] (año 2015):
[tex]\( f(15) = 10 + 0.029 \cdot 15^2 = 10 + 0.029 \cdot 225 = 10 + 6.525 = 16.525 \)[/tex]

En conclusión, la cantidad de consumidores en millones es:

### Resumen:
a) La función original [tex]\( f(x) = 10 + 0.029x^2 \)[/tex] comienza en 10 millones de consumidores en el año 2000.
b) La función ajustada para que el origen sea el año 2005 es [tex]\( g(x) = 10 + 0.029(x + 5)^2 \)[/tex], y tiene 10.725 millones de consumidores en 2005 y 16.525 millones de consumidores en 2015.
c) Para el año 2015, la cantidad de consumidores es [tex]\( 16.525 \)[/tex] millones.
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