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Determine the result of the logarithmic function:
[tex]\[
f(x)=\log _4(64)^5
\][/tex]


Sagot :

Claro, vamos a resolver la función logarítmica [tex]\( f(x) = \log_4((64)^5) \)[/tex] paso a paso:

1. Simplificar el argumento del logaritmo:
Observemos que [tex]\( 64 \)[/tex] se puede expresar como una potencia de [tex]\( 4 \)[/tex]. Sabemos que [tex]\( 64 = 4^3 \)[/tex] porque [tex]\( 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \)[/tex].

2. Reemplazar [tex]\( 64 \)[/tex] por [tex]\( 4^3 \)[/tex]:
Entonces, tenemos:
[tex]\[ (64)^5 = (4^3)^5 \][/tex]

3. Aplicar las propiedades de las potencias:
Utilizando las propiedades de las potencias, sabemos que [tex]\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)[/tex]. Aplicando esto, obtenemos:
[tex]\[ (4^3)^5 = 4^{3 \cdot 5} = 4^{15} \][/tex]

4. Modificar la función logarítmica:
Sustituimos de nuevo en la función logarítmica:
[tex]\[ f(x) = \log_4(4^{15}) \][/tex]

5. Aplicar las propiedades de los logaritmos:
Una de las propiedades fundamentales de los logaritmos es que [tex]\( \log_b(b^x) = x \)[/tex]. Aplicando esta propiedad en nuestro caso, tenemos:
[tex]\[ \log_4(4^{15}) = 15 \][/tex]

Por lo tanto, el resultado de [tex]\( f(x) = \log_4((64)^5) \)[/tex] es [tex]\( 15 \)[/tex].

Entonces, [tex]\( f(x) = 15 \)[/tex].