Para encontrar la temperatura final del café después de agregar la leche, podemos usar el principio de la conservación de la energía. Según este principio, el calor perdido por el café será igual al calor ganado por la leche.
1. Datos iniciales:
- Masa del café ([tex]\(m_{\text{coffee}}\)[/tex]): [tex]\(450 \, \text{g}\)[/tex]
- Temperatura inicial del café ([tex]\(T_{\text{coffee,i}}\)[/tex]): [tex]\(85^{\circ} C\)[/tex]
- Masa de la leche ([tex]\(m_{\text{milk}}\)[/tex]): [tex]\(100 \, \text{g}\)[/tex]
- Temperatura inicial de la leche ([tex]\(T_{\text{milk,i}}\)[/tex]): [tex]\(12^{\circ} C\)[/tex]
- Capacidad calorífica específica del café ([tex]\(c_{\text{coffee}}\)[/tex]): [tex]\(1 \, \text{cal/g}^{\circ}C\)[/tex]
- Capacidad calorífica específica de la leche ([tex]\(c_{\text{milk}}\)[/tex]): [tex]\(1 \, \text{cal/g}^{\circ}C\)[/tex] (consideramos que la capacidad calorífica específica del café y de la leche es la misma que la del agua que es [tex]\(1 \, \text{cal/g}^{\circ}C\)[/tex])
2. Conservación de la energía térmica:
- Suponemos que no hay pérdida de calor al ambiente.
- Usamos la fórmula de conservación de la energía térmica:
[tex]\[
\text{Calor perdido por el café} = \text{Calor ganado por la leche}
\][/tex]
3. Expresamos cada término:
- Calor perdido por el café: [tex]\(m_{\text{coffee}} \cdot c_{\text{coffee}} \cdot (T_{\text{final}} - T_{\text{coffee,i}})\)[/tex]
- Calor ganado por la leche: [tex]\(m_{\text{milk}} \cdot c_{\text{milk}} \cdot (T_{\text{final}} - T_{\text{milk,i}})\)[/tex]
4. Establecemos la ecuación de equilibrio térmico:
[tex]\[
m_{\text{coffee}} \cdot c_{\text{coffee}} \cdot (T_{\text{final}} - T_{\text{coffee,i}}) = -m_{\text{milk}} \cdot c_{\text{milk}} \cdot (T_{\text{final}} - T_{\text{milk,i}})
\][/tex]
5. Simplificamos la ecuación:
[tex]\[
450 \cdot 1 \cdot (T_{\text{final}} - 85) = -100 \cdot 1 \cdot (T_{\text{final}} - 12)
\][/tex]
6. Resolviendo para [tex]\(T_{\text{final}}\)[/tex]:
[tex]\[
450(T_{\text{final}} - 85) = -100(T_{\text{final}} - 12)
\][/tex]
[tex]\[
450T_{\text{final}} - 450 \cdot 85 = -100T_{\text{final}} + 100 \cdot 12
\][/tex]
[tex]\[
450T_{\text{final}} - 38250 = -100T_{\text{final}} + 1200
\][/tex]
[tex]\[
450T_{\text{final}} + 100T_{\text{final}} = 38250 + 1200
\][/tex]
[tex]\[
550T_{\text{final}} = 39450
\][/tex]
[tex]\[
T_{\text{final}} = \frac{39450}{550}
\][/tex]
[tex]\[
T_{\text{final}} \approx 71.72727^{\circ}C
\][/tex]
Por lo tanto, la temperatura final del café después de agregar la leche es aproximadamente [tex]\(71.73^{\circ}C\)[/tex].
