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Sagot :
Por supuesto, vamos a resolver el problema paso a paso.
### Hallar el dominio de [tex]$f(x)$[/tex]:
La función que queremos analizar es [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex].
- El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de [tex]\( x \)[/tex] para los cuales la función está definida.
- En este caso, la función [tex]\( f(x) \)[/tex] incluye un término de valor absoluto [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex], que es una operación que está definida para todos los números reales, y una suma con 1, que no impone ninguna restricción adicional.
Por lo tanto, el dominio de [tex]\( f(x) \)[/tex] es el conjunto de todos los números reales, es decir:
[tex]\[ \text{Dominio: } (-\infty, +\infty) \][/tex]
### Hallar el rango de [tex]\( f(x) \)[/tex]:
El rango de una función es el conjunto de todos los valores posibles de [tex]\( y \)[/tex] (o [tex]\( f(x) \)[/tex]).
- Consideremos primero la expresión dentro del valor absoluto: [tex]\( x^2 - 25 \)[/tex]. Este término puede tomar cualquier valor real, es decir, puede ser negativo, cero o positivo.
- El valor absoluto de cualquier número es siempre no negativo, así que [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \geq 0 \)[/tex].
Ahora, agregamos el 1:
[tex]\[ f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \][/tex]
- Esto significa que el valor más pequeño que [tex]\( f(x) \)[/tex] puede tomar es cuando [tex]\( \left|x^2 - 25\right| = 0 \)[/tex].
- Entonces, [tex]\( f(x) = 0 + 1 = 1 \)[/tex].
A medida que [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex] aumenta, [tex]\( f(x) \)[/tex] también aumenta sin límite superior. Por lo tanto, el rango de [tex]\( f(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ \text{Rango: } [1, \infty) \][/tex]
### Graficar [tex]\( f(x) \)[/tex]:
Para graficar la función [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex], sigamos estos pasos:
1. Identifiquemos los puntos donde [tex]\( x^2 - 25 = 0 \)[/tex], lo que ocurre cuando [tex]\( x = \pm 5 \)[/tex].
2. Critiquemos el comportamiento a medida que [tex]\( x \)[/tex] se aleja de estos puntos críticos.
- Cuando [tex]\( x \)[/tex] está en el intervalo [tex]\( (-\infty, -5) \cup (5, \infty) \)[/tex], [tex]\( x^2 - 25 > 0 \)[/tex] y [tex]\( \left|x^2 - 25\right| = x^2 - 25 \)[/tex].
- Cuando [tex]\( x \)[/tex] está en el intervalo [tex]\( (-5, 5) \)[/tex], [tex]\( x^2 - 25 < 0 \)[/tex] y [tex]\( \left|x^2 - 25\right| = -(x^2 - 25) = 25 - x^2 \)[/tex].
#### Puntos Clave:
- En [tex]\( x = 0 \)[/tex], tenemos [tex]\( f(0) = \left|0 - 25\right| + 1 = 25 + 1 = 26 \)[/tex].
- En [tex]\( x = 5 \)[/tex] y [tex]\( x = -5 \)[/tex], tenemos [tex]\( f(5) = f(-5) = 1 \)[/tex].
Con estos valores, podemos bosquejar la forma de la gráfica. Recuerda que la función será simétrica respecto al eje [tex]\( y \)[/tex] ya que [tex]\( x \)[/tex] aparece al cuadrado.
[tex]\[ \text{Gráfico} \][/tex]
Aquí hay una descripción general:
- La gráfica tiene un mínimo en [tex]\( x = \pm 5 \)[/tex] donde [tex]\( f(5) = f(-5) = 1 \)[/tex].
- La función crece a ambos lados de estos puntos hacia [tex]\( \infty \)[/tex].
La gráfica sería algo similar a una "V" invertida ancha con vértices en [tex]\( (5,1) \)[/tex] y [tex]\( (-5,1) \)[/tex] y con el eje y en el valor [tex]\( 26 \)[/tex]. Los brazos de la gráfica se extenderían hacia arriba indefinidamente a medida que [tex]\( |x| \)[/tex] crece.
¡Espero que esto haya aclarado cómo determinar el dominio, el rango y cómo graficar la función!
### Hallar el dominio de [tex]$f(x)$[/tex]:
La función que queremos analizar es [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex].
- El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de [tex]\( x \)[/tex] para los cuales la función está definida.
- En este caso, la función [tex]\( f(x) \)[/tex] incluye un término de valor absoluto [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex], que es una operación que está definida para todos los números reales, y una suma con 1, que no impone ninguna restricción adicional.
Por lo tanto, el dominio de [tex]\( f(x) \)[/tex] es el conjunto de todos los números reales, es decir:
[tex]\[ \text{Dominio: } (-\infty, +\infty) \][/tex]
### Hallar el rango de [tex]\( f(x) \)[/tex]:
El rango de una función es el conjunto de todos los valores posibles de [tex]\( y \)[/tex] (o [tex]\( f(x) \)[/tex]).
- Consideremos primero la expresión dentro del valor absoluto: [tex]\( x^2 - 25 \)[/tex]. Este término puede tomar cualquier valor real, es decir, puede ser negativo, cero o positivo.
- El valor absoluto de cualquier número es siempre no negativo, así que [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \geq 0 \)[/tex].
Ahora, agregamos el 1:
[tex]\[ f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \][/tex]
- Esto significa que el valor más pequeño que [tex]\( f(x) \)[/tex] puede tomar es cuando [tex]\( \left|x^2 - 25\right| = 0 \)[/tex].
- Entonces, [tex]\( f(x) = 0 + 1 = 1 \)[/tex].
A medida que [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex] aumenta, [tex]\( f(x) \)[/tex] también aumenta sin límite superior. Por lo tanto, el rango de [tex]\( f(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ \text{Rango: } [1, \infty) \][/tex]
### Graficar [tex]\( f(x) \)[/tex]:
Para graficar la función [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex], sigamos estos pasos:
1. Identifiquemos los puntos donde [tex]\( x^2 - 25 = 0 \)[/tex], lo que ocurre cuando [tex]\( x = \pm 5 \)[/tex].
2. Critiquemos el comportamiento a medida que [tex]\( x \)[/tex] se aleja de estos puntos críticos.
- Cuando [tex]\( x \)[/tex] está en el intervalo [tex]\( (-\infty, -5) \cup (5, \infty) \)[/tex], [tex]\( x^2 - 25 > 0 \)[/tex] y [tex]\( \left|x^2 - 25\right| = x^2 - 25 \)[/tex].
- Cuando [tex]\( x \)[/tex] está en el intervalo [tex]\( (-5, 5) \)[/tex], [tex]\( x^2 - 25 < 0 \)[/tex] y [tex]\( \left|x^2 - 25\right| = -(x^2 - 25) = 25 - x^2 \)[/tex].
#### Puntos Clave:
- En [tex]\( x = 0 \)[/tex], tenemos [tex]\( f(0) = \left|0 - 25\right| + 1 = 25 + 1 = 26 \)[/tex].
- En [tex]\( x = 5 \)[/tex] y [tex]\( x = -5 \)[/tex], tenemos [tex]\( f(5) = f(-5) = 1 \)[/tex].
Con estos valores, podemos bosquejar la forma de la gráfica. Recuerda que la función será simétrica respecto al eje [tex]\( y \)[/tex] ya que [tex]\( x \)[/tex] aparece al cuadrado.
[tex]\[ \text{Gráfico} \][/tex]
Aquí hay una descripción general:
- La gráfica tiene un mínimo en [tex]\( x = \pm 5 \)[/tex] donde [tex]\( f(5) = f(-5) = 1 \)[/tex].
- La función crece a ambos lados de estos puntos hacia [tex]\( \infty \)[/tex].
La gráfica sería algo similar a una "V" invertida ancha con vértices en [tex]\( (5,1) \)[/tex] y [tex]\( (-5,1) \)[/tex] y con el eje y en el valor [tex]\( 26 \)[/tex]. Los brazos de la gráfica se extenderían hacia arriba indefinidamente a medida que [tex]\( |x| \)[/tex] crece.
¡Espero que esto haya aclarado cómo determinar el dominio, el rango y cómo graficar la función!
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