Welcome to Westonci.ca, where you can find answers to all your questions from a community of experienced professionals. Get detailed answers to your questions from a community of experts dedicated to providing accurate information. Experience the ease of finding precise answers to your questions from a knowledgeable community of experts.
Sagot :
Por supuesto, vamos a resolver el problema paso a paso.
### Hallar el dominio de [tex]$f(x)$[/tex]:
La función que queremos analizar es [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex].
- El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de [tex]\( x \)[/tex] para los cuales la función está definida.
- En este caso, la función [tex]\( f(x) \)[/tex] incluye un término de valor absoluto [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex], que es una operación que está definida para todos los números reales, y una suma con 1, que no impone ninguna restricción adicional.
Por lo tanto, el dominio de [tex]\( f(x) \)[/tex] es el conjunto de todos los números reales, es decir:
[tex]\[ \text{Dominio: } (-\infty, +\infty) \][/tex]
### Hallar el rango de [tex]\( f(x) \)[/tex]:
El rango de una función es el conjunto de todos los valores posibles de [tex]\( y \)[/tex] (o [tex]\( f(x) \)[/tex]).
- Consideremos primero la expresión dentro del valor absoluto: [tex]\( x^2 - 25 \)[/tex]. Este término puede tomar cualquier valor real, es decir, puede ser negativo, cero o positivo.
- El valor absoluto de cualquier número es siempre no negativo, así que [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \geq 0 \)[/tex].
Ahora, agregamos el 1:
[tex]\[ f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \][/tex]
- Esto significa que el valor más pequeño que [tex]\( f(x) \)[/tex] puede tomar es cuando [tex]\( \left|x^2 - 25\right| = 0 \)[/tex].
- Entonces, [tex]\( f(x) = 0 + 1 = 1 \)[/tex].
A medida que [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex] aumenta, [tex]\( f(x) \)[/tex] también aumenta sin límite superior. Por lo tanto, el rango de [tex]\( f(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ \text{Rango: } [1, \infty) \][/tex]
### Graficar [tex]\( f(x) \)[/tex]:
Para graficar la función [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex], sigamos estos pasos:
1. Identifiquemos los puntos donde [tex]\( x^2 - 25 = 0 \)[/tex], lo que ocurre cuando [tex]\( x = \pm 5 \)[/tex].
2. Critiquemos el comportamiento a medida que [tex]\( x \)[/tex] se aleja de estos puntos críticos.
- Cuando [tex]\( x \)[/tex] está en el intervalo [tex]\( (-\infty, -5) \cup (5, \infty) \)[/tex], [tex]\( x^2 - 25 > 0 \)[/tex] y [tex]\( \left|x^2 - 25\right| = x^2 - 25 \)[/tex].
- Cuando [tex]\( x \)[/tex] está en el intervalo [tex]\( (-5, 5) \)[/tex], [tex]\( x^2 - 25 < 0 \)[/tex] y [tex]\( \left|x^2 - 25\right| = -(x^2 - 25) = 25 - x^2 \)[/tex].
#### Puntos Clave:
- En [tex]\( x = 0 \)[/tex], tenemos [tex]\( f(0) = \left|0 - 25\right| + 1 = 25 + 1 = 26 \)[/tex].
- En [tex]\( x = 5 \)[/tex] y [tex]\( x = -5 \)[/tex], tenemos [tex]\( f(5) = f(-5) = 1 \)[/tex].
Con estos valores, podemos bosquejar la forma de la gráfica. Recuerda que la función será simétrica respecto al eje [tex]\( y \)[/tex] ya que [tex]\( x \)[/tex] aparece al cuadrado.
[tex]\[ \text{Gráfico} \][/tex]
Aquí hay una descripción general:
- La gráfica tiene un mínimo en [tex]\( x = \pm 5 \)[/tex] donde [tex]\( f(5) = f(-5) = 1 \)[/tex].
- La función crece a ambos lados de estos puntos hacia [tex]\( \infty \)[/tex].
La gráfica sería algo similar a una "V" invertida ancha con vértices en [tex]\( (5,1) \)[/tex] y [tex]\( (-5,1) \)[/tex] y con el eje y en el valor [tex]\( 26 \)[/tex]. Los brazos de la gráfica se extenderían hacia arriba indefinidamente a medida que [tex]\( |x| \)[/tex] crece.
¡Espero que esto haya aclarado cómo determinar el dominio, el rango y cómo graficar la función!
### Hallar el dominio de [tex]$f(x)$[/tex]:
La función que queremos analizar es [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex].
- El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de [tex]\( x \)[/tex] para los cuales la función está definida.
- En este caso, la función [tex]\( f(x) \)[/tex] incluye un término de valor absoluto [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex], que es una operación que está definida para todos los números reales, y una suma con 1, que no impone ninguna restricción adicional.
Por lo tanto, el dominio de [tex]\( f(x) \)[/tex] es el conjunto de todos los números reales, es decir:
[tex]\[ \text{Dominio: } (-\infty, +\infty) \][/tex]
### Hallar el rango de [tex]\( f(x) \)[/tex]:
El rango de una función es el conjunto de todos los valores posibles de [tex]\( y \)[/tex] (o [tex]\( f(x) \)[/tex]).
- Consideremos primero la expresión dentro del valor absoluto: [tex]\( x^2 - 25 \)[/tex]. Este término puede tomar cualquier valor real, es decir, puede ser negativo, cero o positivo.
- El valor absoluto de cualquier número es siempre no negativo, así que [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \geq 0 \)[/tex].
Ahora, agregamos el 1:
[tex]\[ f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \][/tex]
- Esto significa que el valor más pequeño que [tex]\( f(x) \)[/tex] puede tomar es cuando [tex]\( \left|x^2 - 25\right| = 0 \)[/tex].
- Entonces, [tex]\( f(x) = 0 + 1 = 1 \)[/tex].
A medida que [tex]\( \left|x^2 - 25\right| \)[/tex] aumenta, [tex]\( f(x) \)[/tex] también aumenta sin límite superior. Por lo tanto, el rango de [tex]\( f(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ \text{Rango: } [1, \infty) \][/tex]
### Graficar [tex]\( f(x) \)[/tex]:
Para graficar la función [tex]\( f(x) = \left|x^2 - 25\right| + 1 \)[/tex], sigamos estos pasos:
1. Identifiquemos los puntos donde [tex]\( x^2 - 25 = 0 \)[/tex], lo que ocurre cuando [tex]\( x = \pm 5 \)[/tex].
2. Critiquemos el comportamiento a medida que [tex]\( x \)[/tex] se aleja de estos puntos críticos.
- Cuando [tex]\( x \)[/tex] está en el intervalo [tex]\( (-\infty, -5) \cup (5, \infty) \)[/tex], [tex]\( x^2 - 25 > 0 \)[/tex] y [tex]\( \left|x^2 - 25\right| = x^2 - 25 \)[/tex].
- Cuando [tex]\( x \)[/tex] está en el intervalo [tex]\( (-5, 5) \)[/tex], [tex]\( x^2 - 25 < 0 \)[/tex] y [tex]\( \left|x^2 - 25\right| = -(x^2 - 25) = 25 - x^2 \)[/tex].
#### Puntos Clave:
- En [tex]\( x = 0 \)[/tex], tenemos [tex]\( f(0) = \left|0 - 25\right| + 1 = 25 + 1 = 26 \)[/tex].
- En [tex]\( x = 5 \)[/tex] y [tex]\( x = -5 \)[/tex], tenemos [tex]\( f(5) = f(-5) = 1 \)[/tex].
Con estos valores, podemos bosquejar la forma de la gráfica. Recuerda que la función será simétrica respecto al eje [tex]\( y \)[/tex] ya que [tex]\( x \)[/tex] aparece al cuadrado.
[tex]\[ \text{Gráfico} \][/tex]
Aquí hay una descripción general:
- La gráfica tiene un mínimo en [tex]\( x = \pm 5 \)[/tex] donde [tex]\( f(5) = f(-5) = 1 \)[/tex].
- La función crece a ambos lados de estos puntos hacia [tex]\( \infty \)[/tex].
La gráfica sería algo similar a una "V" invertida ancha con vértices en [tex]\( (5,1) \)[/tex] y [tex]\( (-5,1) \)[/tex] y con el eje y en el valor [tex]\( 26 \)[/tex]. Los brazos de la gráfica se extenderían hacia arriba indefinidamente a medida que [tex]\( |x| \)[/tex] crece.
¡Espero que esto haya aclarado cómo determinar el dominio, el rango y cómo graficar la función!
Thank you for your visit. We're dedicated to helping you find the information you need, whenever you need it. We appreciate your time. Please revisit us for more reliable answers to any questions you may have. Westonci.ca is your trusted source for answers. Visit us again to find more information on diverse topics.
