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Sagot :
Para hallar el dominio y rango de la función [tex]\( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 4} \)[/tex], sigamos los siguientes pasos:
### Dominio:
El dominio de una función se refiere a todos los valores posibles que [tex]\( x \)[/tex] puede tomar.
1. Observamos la función [tex]\( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 4} \)[/tex].
2. El denominador es [tex]\( x^2 + 4 \)[/tex], y necesitamos asegurarnos de que nunca sea cero, ya que la división por cero no está definida.
3. Notamos que [tex]\( x^2 + 4 \)[/tex] siempre es mayor que cero para todos los números reales [tex]\( x \)[/tex], porque [tex]\( x^2 \)[/tex] es siempre no negativo y sumado con 4 siempre dará un número positivo.
Por lo tanto, el denominador nunca es cero para cualquier valor de [tex]\( x \)[/tex] en los números reales.
Dominio: Todos los números reales, es decir, [tex]\( (-\infty, \infty) \)[/tex].
### Rango:
Para encontrar el rango de la función, necesitamos determinar todos los valores posibles de [tex]\( y = f(x) \)[/tex].
1. Consideramos la función [tex]\( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 4} \)[/tex].
2. Para buscar el rango, analizamos cómo se comporta la función a medida que [tex]\( x \)[/tex] toma diferentes valores.
#### Análisis de Comportamiento:
- Cuando [tex]\( x \)[/tex] tiende a infinito ([tex]\( +\infty \)[/tex]) o menos infinito ([tex]\( -\infty \)[/tex]), los términos [tex]\( x^2 \)[/tex] dominan tanto en el numerador como en el denominador:
[tex]\[ \lim_{{x \to \pm \infty}} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 4} = \lim_{{x \to \pm \infty}} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = 1 \][/tex]
Por lo tanto, f(x) se aproxima a 1, pero nunca lo alcanza exactamente debido a los términos adicionales en el numerador y el denominador.
- Consideramos el comportamiento en el punto crítico y cómo la función se comporta en otros valores específicos:
- Observamos que cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex], tenemos:
[tex]\[ f(0) = \frac{0^2 - 1}{0^2 + 4} = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4} \][/tex]
- Evaluamos cómo se comporta la función en otros puntos analizados, tales como cuando [tex]\( y = -1 \)[/tex]:
- Para [tex]\( y = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ -1 = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 4} \][/tex]
Llevamos a:
[tex]\[ -1(x^2 + 4) = x^2 - 1 \implies -x^2 - 4 = x^2 - 1 \implies -4 = 2x^2 - 1 \implies -3 = 2x^2 \implies x^2 = -\frac{3}{2} \][/tex]
Lo que no tiene solución en los números reales.
- Cuando [tex]\( y \)[/tex] se aproxima a valores cercanos a -1 y 1, la función puede aproximarse ambos valores en ciertos puntos críticos.
### Conclusión del Rango:
Los valores que toma la función [tex]\( f(x) \)[/tex] varían entre -1 y 1, ya que el comportamiento en los puntos críticos y a medida que x tiende a infinito, muestran esa propiedad.
Rango: [tex]\([-1, 1]\)[/tex].
Entonces, tenemos:
- Dominio: [tex]\(\left( -\infty, \infty \right) \)[/tex]
- Rango: [tex]\([-1, 1]\)[/tex]
### Dominio:
El dominio de una función se refiere a todos los valores posibles que [tex]\( x \)[/tex] puede tomar.
1. Observamos la función [tex]\( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 4} \)[/tex].
2. El denominador es [tex]\( x^2 + 4 \)[/tex], y necesitamos asegurarnos de que nunca sea cero, ya que la división por cero no está definida.
3. Notamos que [tex]\( x^2 + 4 \)[/tex] siempre es mayor que cero para todos los números reales [tex]\( x \)[/tex], porque [tex]\( x^2 \)[/tex] es siempre no negativo y sumado con 4 siempre dará un número positivo.
Por lo tanto, el denominador nunca es cero para cualquier valor de [tex]\( x \)[/tex] en los números reales.
Dominio: Todos los números reales, es decir, [tex]\( (-\infty, \infty) \)[/tex].
### Rango:
Para encontrar el rango de la función, necesitamos determinar todos los valores posibles de [tex]\( y = f(x) \)[/tex].
1. Consideramos la función [tex]\( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 4} \)[/tex].
2. Para buscar el rango, analizamos cómo se comporta la función a medida que [tex]\( x \)[/tex] toma diferentes valores.
#### Análisis de Comportamiento:
- Cuando [tex]\( x \)[/tex] tiende a infinito ([tex]\( +\infty \)[/tex]) o menos infinito ([tex]\( -\infty \)[/tex]), los términos [tex]\( x^2 \)[/tex] dominan tanto en el numerador como en el denominador:
[tex]\[ \lim_{{x \to \pm \infty}} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 4} = \lim_{{x \to \pm \infty}} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = 1 \][/tex]
Por lo tanto, f(x) se aproxima a 1, pero nunca lo alcanza exactamente debido a los términos adicionales en el numerador y el denominador.
- Consideramos el comportamiento en el punto crítico y cómo la función se comporta en otros valores específicos:
- Observamos que cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex], tenemos:
[tex]\[ f(0) = \frac{0^2 - 1}{0^2 + 4} = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4} \][/tex]
- Evaluamos cómo se comporta la función en otros puntos analizados, tales como cuando [tex]\( y = -1 \)[/tex]:
- Para [tex]\( y = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ -1 = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 4} \][/tex]
Llevamos a:
[tex]\[ -1(x^2 + 4) = x^2 - 1 \implies -x^2 - 4 = x^2 - 1 \implies -4 = 2x^2 - 1 \implies -3 = 2x^2 \implies x^2 = -\frac{3}{2} \][/tex]
Lo que no tiene solución en los números reales.
- Cuando [tex]\( y \)[/tex] se aproxima a valores cercanos a -1 y 1, la función puede aproximarse ambos valores en ciertos puntos críticos.
### Conclusión del Rango:
Los valores que toma la función [tex]\( f(x) \)[/tex] varían entre -1 y 1, ya que el comportamiento en los puntos críticos y a medida que x tiende a infinito, muestran esa propiedad.
Rango: [tex]\([-1, 1]\)[/tex].
Entonces, tenemos:
- Dominio: [tex]\(\left( -\infty, \infty \right) \)[/tex]
- Rango: [tex]\([-1, 1]\)[/tex]
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