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Sagot :
Para resolver este problema de movimiento de proyectiles, necesitamos encontrar la velocidad inicial de un cuerpo que es lanzado a un ángulo de 18 grados y alcanza una distancia de 18 metros. Aquí están los pasos detallados y la explicación del proceso:
1. Datos conocidos:
- Ángulo de lanzamiento ([tex]\(\theta\)[/tex]): 18 grados.
- Distancia horizontal (alcance, [tex]\(R\)[/tex]): 18 metros.
- Aceleración debido a la gravedad ([tex]\(g\)[/tex]): Aproximadamente 9.81 m/s².
2. Convertir el ángulo de lanzamiento a radianes:
Los cálculos de trigonometría en física normalmente se hacen en radianes. Sabemos que [tex]\(1\)[/tex] grado es [tex]\(\frac{\pi}{180}\)[/tex] radianes.
[tex]\[ \theta_{radianes} = 18 \times \frac{\pi}{180} = 0.3141592653589793 \text{ radianes} \][/tex]
3. Ecuación del movimiento de proyectiles:
Para un proyectil, la distancia horizontal (alcance) está dada por:
[tex]\[ R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g} \][/tex]
Donde:
- [tex]\(v\)[/tex] es la velocidad inicial.
- [tex]\(\sin(2\theta)\)[/tex] es el seno del doble del ángulo de lanzamiento.
4. Despejar la velocidad inicial:
Para encontrar la velocidad inicial, despejamos [tex]\(v\)[/tex] de la ecuación anterior:
[tex]\[ R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g} \][/tex]
[tex]\[ v^2 = \frac{R \cdot g}{\sin(2\theta)} \][/tex]
[tex]\[ v = \sqrt{\frac{R \cdot g}{\sin(2\theta)}} \][/tex]
5. Sustitución de valores y cálculo:
Sustituyendo los valores conocidos:
[tex]\[ R = 18 \text{ m}, \quad g = 9.81 \text{ m/s}^2, \quad \theta_{radianes} = 0.3141592653589793 \text{ radianes} \][/tex]
Primero calculamos [tex]\(\sin(2\theta)\)[/tex]:
[tex]\[ 2\theta_{radianes} = 2 \times 0.3141592653589793 = 0.6283185307179586 \text{ radianes} \][/tex]
[tex]\[ \sin(0.6283185307179586) \approx 0.5877852522924731 \][/tex]
Luego, calculamos la velocidad inicial:
[tex]\[ v = \sqrt{\frac{18 \cdot 9.81}{0.5877852522924731}} \][/tex]
Resolviendo este:
[tex]\[ v \approx 17.33250817041799 \text{ m/s} \][/tex]
6. Conclusión:
La velocidad inicial que el jugador proporcionó al tejo es aproximadamente 17.3 m/s.
Por lo tanto, la velocidad inicial que se le otorgó al tejo es aproximadamente [tex]\(17.3 \, \text{m/s}\)[/tex].
1. Datos conocidos:
- Ángulo de lanzamiento ([tex]\(\theta\)[/tex]): 18 grados.
- Distancia horizontal (alcance, [tex]\(R\)[/tex]): 18 metros.
- Aceleración debido a la gravedad ([tex]\(g\)[/tex]): Aproximadamente 9.81 m/s².
2. Convertir el ángulo de lanzamiento a radianes:
Los cálculos de trigonometría en física normalmente se hacen en radianes. Sabemos que [tex]\(1\)[/tex] grado es [tex]\(\frac{\pi}{180}\)[/tex] radianes.
[tex]\[ \theta_{radianes} = 18 \times \frac{\pi}{180} = 0.3141592653589793 \text{ radianes} \][/tex]
3. Ecuación del movimiento de proyectiles:
Para un proyectil, la distancia horizontal (alcance) está dada por:
[tex]\[ R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g} \][/tex]
Donde:
- [tex]\(v\)[/tex] es la velocidad inicial.
- [tex]\(\sin(2\theta)\)[/tex] es el seno del doble del ángulo de lanzamiento.
4. Despejar la velocidad inicial:
Para encontrar la velocidad inicial, despejamos [tex]\(v\)[/tex] de la ecuación anterior:
[tex]\[ R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g} \][/tex]
[tex]\[ v^2 = \frac{R \cdot g}{\sin(2\theta)} \][/tex]
[tex]\[ v = \sqrt{\frac{R \cdot g}{\sin(2\theta)}} \][/tex]
5. Sustitución de valores y cálculo:
Sustituyendo los valores conocidos:
[tex]\[ R = 18 \text{ m}, \quad g = 9.81 \text{ m/s}^2, \quad \theta_{radianes} = 0.3141592653589793 \text{ radianes} \][/tex]
Primero calculamos [tex]\(\sin(2\theta)\)[/tex]:
[tex]\[ 2\theta_{radianes} = 2 \times 0.3141592653589793 = 0.6283185307179586 \text{ radianes} \][/tex]
[tex]\[ \sin(0.6283185307179586) \approx 0.5877852522924731 \][/tex]
Luego, calculamos la velocidad inicial:
[tex]\[ v = \sqrt{\frac{18 \cdot 9.81}{0.5877852522924731}} \][/tex]
Resolviendo este:
[tex]\[ v \approx 17.33250817041799 \text{ m/s} \][/tex]
6. Conclusión:
La velocidad inicial que el jugador proporcionó al tejo es aproximadamente 17.3 m/s.
Por lo tanto, la velocidad inicial que se le otorgó al tejo es aproximadamente [tex]\(17.3 \, \text{m/s}\)[/tex].
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