Claro, vamos a resolver la igualdad paso a paso.
Dada la igualdad:
[tex]\[
4 + \frac{8 + i}{x + yi} = 2 - i + (\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i)
\][/tex]
Primero, simplifiquemos el lado derecho. Notemos que:
[tex]\[
(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i) = (\sqrt{3})^2 - (i)^2 = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4
\][/tex]
Entonces, la ecuación se simplifica a:
[tex]\[
4 + \frac{8 + i}{x + yi} = 2 - i + 4
\][/tex]
Simplificando aún más, obtenemos:
[tex]\[
4 + \frac{8 + i}{x + yi} = 6 - i
\][/tex]
A continuación, restemos 4 de ambos lados para aislar la fracción:
[tex]\[
\frac{8 + i}{x + yi} = 6 - i - 4
\][/tex]
Lo cual se reduce a:
[tex]\[
\frac{8 + i}{x + yi} = 2 - i
\][/tex]
Ahora, igualemos [tex]\(8 + i\)[/tex] con [tex]\((2 - i)(x + yi)\)[/tex]:
[tex]\[
8 + i = (2 - i)(x + yi)
\][/tex]
Expandiendo el lado derecho usando la propiedad distributiva, tenemos:
[tex]\[
8 + i = 2x + 2yi - ix - i^2 y
\][/tex]
Sabemos que [tex]\(i^2 = -1\)[/tex], así que la ecuación se convierte en:
[tex]\[
8 + i = 2x + 2yi - ix + y
\][/tex]
Reorganicemos para separar las partes reales e imaginarias:
[tex]\[
8 + i = (2x + y) + (2y - x)i
\][/tex]
Ahora, comparemos las partes reales e imaginarias a ambos lados de la igualdad:
Parte real:
[tex]\[
8 = 2x + y
\][/tex]
Parte imaginaria:
[tex]\[
1 = 2y - x
\][/tex]
Ahora, tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
[tex]\[
\begin{cases}
8 = 2x + y \\
1 = 2y - x
\end{cases}
\][/tex]
Resolvamos este sistema de ecuaciones. Multipliquemos la segunda ecuación por 2 para facilitar la suma:
[tex]\[
2(1 = 2y - x) \implies 2 = 4y - 2x
\][/tex]
Ahora, tenemos:
[tex]\[
\begin{cases}
8 = 2x + y \\
2 = 4y - 2x
\end{cases}
\][/tex]
Sumando ambas ecuaciones:
[tex]\[
8 + 2 = 2x + y + 4y - 2x \implies 10 = 5y \implies y = 2
\][/tex]
Sustituyendo [tex]\(y = 2\)[/tex] en la primera ecuación:
[tex]\[
8 = 2x + 2 \implies 8 - 2 = 2x \implies 6 = 2x \implies x = 3
\][/tex]
Por lo tanto, los valores de [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex] son:
[tex]\[
x = 3 \quad \text{y} \quad y = 2
\][/tex]
