Para determinar el valor de [tex]\( m \)[/tex] que hace que la suma de las raíces de la ecuación
[tex]\[ (m-3)x^2 + 3x + 1 = 0 \][/tex]
sea [tex]\(-\frac{3}{2}\)[/tex], seguimos los siguientes pasos:
1. Identificar los coeficientes de la ecuación cuadrática:
La ecuación cuadrática general tiene la forma [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]. Comparando con nuestra ecuación, podemos identificar los valores:
- [tex]\( a = (m-3) \)[/tex]
- [tex]\( b = 3 \)[/tex]
- [tex]\( c = 1 \)[/tex]
2. Aplicar la fórmula de Vieta:
Según la fórmula de Vieta, para la ecuación cuadrática [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]:
- La suma de las raíces ([tex]\(\alpha + \beta\)[/tex]) está dada por [tex]\(-\frac{b}{a}\)[/tex].
3. Configurar la suma de las raíces:
Dado que la suma de las raíces es [tex]\(\alpha + \beta = -\frac{3}{2}\)[/tex], sustituimos los coeficientes en la fórmula de Vieta:
[tex]\[
\alpha + \beta = -\frac{3}{2} \implies -\frac{b}{a} = -\frac{3}{2}
\][/tex]
Sustituimos los valores de [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex]:
[tex]\[
-\frac{3}{m-3} = -\frac{3}{2}
\][/tex]
4. Resolver la ecuación para [tex]\( m \)[/tex]:
El siguiente paso es despejar [tex]\( m \)[/tex] de la ecuación:
[tex]\[
\frac{3}{m-3} = \frac{3}{2}
\][/tex]
Multiplicamos ambos lados por [tex]\( (m-3) \)[/tex] para eliminar el denominador:
[tex]\[
3 = \frac{3}{2}(m-3)
\][/tex]
Luego, podemos despejar [tex]\( m \)[/tex] de la siguiente manera:
[tex]\[
3 = \frac{3}{2}(m-3)
\][/tex]
Multiplicamos ambos lados por 2 para eliminar el denominador:
[tex]\[
6 = 3(m-3)
\][/tex]
Ahora dividimos ambos lados por 3:
[tex]\[
2 = m - 3
\][/tex]
Finalmente, sumamos 3 a ambos lados para encontrar [tex]\( m \)[/tex]:
[tex]\[
m = 5
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( m \)[/tex] que hace que la suma de las raíces de la ecuación sea [tex]\(-\frac{3}{2}\)[/tex] es [tex]\(\boxed{5}\)[/tex].
