Para solucionar este problema, seguiremos los siguientes pasos:
1. Identificar la relación entre las raíces y los coeficientes de la ecuación cuadrática: Dada la ecuación cuadrática [tex]\(x^2 - 6x + (n + 1) = 0\)[/tex], sabemos que las raíces [tex]\(x_1\)[/tex] y [tex]\(x_2\)[/tex] satisfacen algunas propiedades específicas.
2. Utilizar las propiedades de la suma y el producto de las raíces: Para una ecuación cuadrática [tex]\(ax^2 + bx + c = 0\)[/tex], la suma de las raíces [tex]\(x_1\)[/tex] y [tex]\(x_2\)[/tex] es [tex]\(-b/a\)[/tex] y el producto de las raíces es [tex]\(c/a\)[/tex].
- En nuestra ecuación, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = -6\)[/tex], y [tex]\(c = n + 1\)[/tex].
- Por lo tanto, la suma de las raíces es:
[tex]\[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{1} = 6
\][/tex]
- El producto de las raíces es:
[tex]\[
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{n + 1}{1} = n + 1
\][/tex]
3. Utilizar la condición dada en el problema: Se nos dice que [tex]\(\frac{1}{2x_1} + \frac{1}{2x_2} = \frac{3}{5}\)[/tex]. Simplificamos esta expresión utilizando la suma y el producto de las raíces que ya conocemos.
[tex]\[
\frac{1}{2x_1} + \frac{1}{2x_2} = \frac{x_1 + x_2}{2x_1 x_2}
\][/tex]
Sustituimos los valores de la suma y el producto de las raíces:
[tex]\[
\frac{6}{2(n + 1)} = \frac{3}{5}
\][/tex]
4. Resolviendo para [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{6}{2(n + 1)} = \frac{3}{5}
\][/tex]
Multiplicamos ambos lados por [tex]\(2(n + 1)\)[/tex] para despejar denominadores:
[tex]\[
6 = \frac{3}{5} \cdot 2(n + 1)
\][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[
6 = \frac{6(n + 1)}{5}
\][/tex]
Multiplicamos ambos lados por 5:
[tex]\[
30 = 6(n + 1)
\][/tex]
Dividimos ambos lados por 6:
[tex]\[
5 = n + 1
\][/tex]
Restamos 1 de ambos lados:
[tex]\[
n = 4
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\(n\)[/tex] que satisface todas las condiciones dadas en el problema es:
[tex]\[
n = 4
\][/tex]
