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Sagot :
¡Claro! Desglosaré y resolveré cada uno de los problemas planteados.
### Problema 1
Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a [tex]\(\sqrt{13}\)[/tex] es el punto [tex]\(A(-1, 2)\)[/tex]. Si la abscisa del otro extremo, [tex]\(B\)[/tex], es [tex]\(2\)[/tex], hay que hallar la ordenada de [tex]\(B\)[/tex].
Para esto, usamos la fórmula de distancia entre dos puntos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex]:
[tex]\[ \text{Distancia} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \][/tex]
Dado:
[tex]\[ \text{Distancia} = \sqrt{13} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = -1, \, y_1 = 2 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = 2, \, y_2 \text{ desconocida} \][/tex]
Aplicamos la fórmula y resolvemos para [tex]\(y_2\)[/tex]:
[tex]\[ \sqrt{(2 - (-1))^2 + (y_2 - 2)^2} = \sqrt{13} \][/tex]
[tex]\[ (2 + 1)^2 + (y_2 - 2)^2 = 13 \][/tex]
[tex]\[ 3^2 + (y_2 - 2)^2 = 13 \][/tex]
[tex]\[ 9 + (y_2 - 2)^2 = 13 \][/tex]
[tex]\[ (y_2 - 2)^2 = 4 \][/tex]
[tex]\[ y_2 - 2 = \pm 2 \][/tex]
Entonces, tenemos dos soluciones:
[tex]\[ y_2 = 2 + 2 = 4 \][/tex]
[tex]\[ y_2 = 2 - 2 = 0 \][/tex]
Por lo tanto, los valores posibles para la ordenada del otro extremo son:
[tex]\[ y_2 = 4 \, \text{ó} \, y_2 = 0 \][/tex]
---
### Problema 2
Tenemos los puntos medios de los lados de un triángulo:
[tex]\[ \left(1,1\right), \left(4,2\right), \left(2,5\right) \][/tex]
Denotemos los vértices del triángulo como [tex]\(A(x_1, y_1)\)[/tex], [tex]\(B(x_2, y_2)\)[/tex], y [tex]\(C(x_3, y_3)\)[/tex].
Los puntos medios se determinan como:
[tex]\[ \text{Mitad entre } A \text{ y } B = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left(1, 1\right) \][/tex]
[tex]\[ \text{Mitad entre } B \text{ y } C = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) = \left(4, 2\right) \][/tex]
[tex]\[ \text{Mitad entre } A \text{ y } C = \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right) = \left(2, 5\right) \][/tex]
Utilizando estas relaciones, obtenemos:
[tex]\[ A = 2 \times (2, 5) - (4, 2) = (2 \times 2 - 4, 2 \times 5 - 2) = (0, 8) \][/tex]
Ahora podemos encontrar [tex]\(B\)[/tex]:
[tex]\[ B = 2 \times (1, 1) - A = (2 \times 1 - 0, 2 \times 1 - 8) = (2, -6) \][/tex]
Y por último, [tex]\(C\)[/tex]:
[tex]\[ C = 2 \times (1, 1) - B = (2 \times 1 - 2, 2 \times 1 - (-6)) = (0, 8) \][/tex]
Las coordenadas de los vértices del triángulo son:
[tex]\[ A(0, 8) \][/tex]
[tex]\[ B(2, -6) \][/tex]
[tex]\[ C(0, 8) \][/tex]
---
### Problema 3
Para encontrar la ecuación de la parábola [tex]\(x^2 + 4y = 7\)[/tex], debemos reescribirla en forma estándar, que es:
[tex]\[ y = ax^2 + bx + c \][/tex]
Dado:
[tex]\[ x^2 + 4y = 7 \][/tex]
Restamos [tex]\(x^2\)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[ 4y = 7 - x^2 \][/tex]
Ahora dividimos todo por 4:
[tex]\[ y = \frac{7 - x^2}{4} \][/tex]
La ecuación de la parábola en forma estándar es:
[tex]\[ y = \frac{7 - x^2}{4} \][/tex]
---
Espero que esta explicación detallada haya sido útil. ¡No dudes en preguntar si necesitas más aclaraciones!
### Problema 1
Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a [tex]\(\sqrt{13}\)[/tex] es el punto [tex]\(A(-1, 2)\)[/tex]. Si la abscisa del otro extremo, [tex]\(B\)[/tex], es [tex]\(2\)[/tex], hay que hallar la ordenada de [tex]\(B\)[/tex].
Para esto, usamos la fórmula de distancia entre dos puntos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex]:
[tex]\[ \text{Distancia} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \][/tex]
Dado:
[tex]\[ \text{Distancia} = \sqrt{13} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = -1, \, y_1 = 2 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = 2, \, y_2 \text{ desconocida} \][/tex]
Aplicamos la fórmula y resolvemos para [tex]\(y_2\)[/tex]:
[tex]\[ \sqrt{(2 - (-1))^2 + (y_2 - 2)^2} = \sqrt{13} \][/tex]
[tex]\[ (2 + 1)^2 + (y_2 - 2)^2 = 13 \][/tex]
[tex]\[ 3^2 + (y_2 - 2)^2 = 13 \][/tex]
[tex]\[ 9 + (y_2 - 2)^2 = 13 \][/tex]
[tex]\[ (y_2 - 2)^2 = 4 \][/tex]
[tex]\[ y_2 - 2 = \pm 2 \][/tex]
Entonces, tenemos dos soluciones:
[tex]\[ y_2 = 2 + 2 = 4 \][/tex]
[tex]\[ y_2 = 2 - 2 = 0 \][/tex]
Por lo tanto, los valores posibles para la ordenada del otro extremo son:
[tex]\[ y_2 = 4 \, \text{ó} \, y_2 = 0 \][/tex]
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### Problema 2
Tenemos los puntos medios de los lados de un triángulo:
[tex]\[ \left(1,1\right), \left(4,2\right), \left(2,5\right) \][/tex]
Denotemos los vértices del triángulo como [tex]\(A(x_1, y_1)\)[/tex], [tex]\(B(x_2, y_2)\)[/tex], y [tex]\(C(x_3, y_3)\)[/tex].
Los puntos medios se determinan como:
[tex]\[ \text{Mitad entre } A \text{ y } B = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left(1, 1\right) \][/tex]
[tex]\[ \text{Mitad entre } B \text{ y } C = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) = \left(4, 2\right) \][/tex]
[tex]\[ \text{Mitad entre } A \text{ y } C = \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right) = \left(2, 5\right) \][/tex]
Utilizando estas relaciones, obtenemos:
[tex]\[ A = 2 \times (2, 5) - (4, 2) = (2 \times 2 - 4, 2 \times 5 - 2) = (0, 8) \][/tex]
Ahora podemos encontrar [tex]\(B\)[/tex]:
[tex]\[ B = 2 \times (1, 1) - A = (2 \times 1 - 0, 2 \times 1 - 8) = (2, -6) \][/tex]
Y por último, [tex]\(C\)[/tex]:
[tex]\[ C = 2 \times (1, 1) - B = (2 \times 1 - 2, 2 \times 1 - (-6)) = (0, 8) \][/tex]
Las coordenadas de los vértices del triángulo son:
[tex]\[ A(0, 8) \][/tex]
[tex]\[ B(2, -6) \][/tex]
[tex]\[ C(0, 8) \][/tex]
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### Problema 3
Para encontrar la ecuación de la parábola [tex]\(x^2 + 4y = 7\)[/tex], debemos reescribirla en forma estándar, que es:
[tex]\[ y = ax^2 + bx + c \][/tex]
Dado:
[tex]\[ x^2 + 4y = 7 \][/tex]
Restamos [tex]\(x^2\)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[ 4y = 7 - x^2 \][/tex]
Ahora dividimos todo por 4:
[tex]\[ y = \frac{7 - x^2}{4} \][/tex]
La ecuación de la parábola en forma estándar es:
[tex]\[ y = \frac{7 - x^2}{4} \][/tex]
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Espero que esta explicación detallada haya sido útil. ¡No dudes en preguntar si necesitas más aclaraciones!
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