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Sagot :
Para resolver el problema de hallar la representación trigonométrica del número complejo
[tex]\[ z = (4 - i)(1 + 2i) + \frac{1 - i}{1 + i} \][/tex]
podemos desglosarlo en los siguientes pasos:
### a) Realiza las operaciones indicadas
1. Multiplicación de los complejos [tex]\( (4 - i)(1 + 2i) \)[/tex]:
Podemos realizar la multiplicación de los números complejos directamente:
[tex]\[ (4 - i)(1 + 2i) = 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2i - i \cdot 1 - i \cdot 2i \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ = 4 + 8i - i - 2i^2 \][/tex]
Recordando que [tex]\( i^2 = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ = 4 + 8i - i + 2 = 6 + 7i \][/tex]
Entonces, el resultado de [tex]\( (4 - i)(1 + 2i) \)[/tex] es [tex]\( 6 + 7i \)[/tex].
2. División de los complejos [tex]\(\frac{1 - i}{1 + i}\)[/tex]:
Para simplificar la expresión, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:
[tex]\[ \frac{1 - i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(1 - i)^2}{(1 + i)(1 - i)} \][/tex]
Calculemos el numerador y el denominador por separado:
- Numerador:
[tex]\[ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i \][/tex]
- Denominador:
[tex]\[ (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \frac{-2i}{2} = -i \][/tex]
Por lo tanto, el resultado de [tex]\( \frac{1 - i}{1 + i} \)[/tex] es [tex]\( -i \)[/tex].
3. Suma de los resultados obtenidos:
[tex]\( 6 + 7i \)[/tex] + [tex]\( -i \)[/tex] = [tex]\( 6 + 6i \)[/tex].
Así que [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex].
### b) Halle el módulo y el argumento de [tex]\( z \)[/tex]
1. Cálculo del módulo:
El módulo de un número complejo [tex]\(a + bi\)[/tex] se calcula como:
[tex]\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \][/tex]
Para [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex]:
[tex]\[ |z| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} = 8.48528137423857 \][/tex]
2. Cálculo del argumento:
El argumento de un número complejo [tex]\(a + bi\)[/tex] se calcula utilizando:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \][/tex]
Para [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex]:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{6}{6}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \approx 0.7853981633974483 \text{ radianes} \][/tex]
Convirtiendo a grados:
[tex]\[ \theta \times \left( \frac{180}{\pi} \right) = 0.7853981633974483 \times 57.29577951308232 \approx 45^\circ \][/tex]
Por lo tanto, la representación trigonométrica del número complejo [tex]\( z \)[/tex] es:
[tex]\[ z = 8.48528137423857 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \][/tex]
o en su forma en grados:
[tex]\[ z = 8.48528137423857 \left( \cos 45^\circ + i \sin 45^\circ \right) \][/tex]
[tex]\[ z = (4 - i)(1 + 2i) + \frac{1 - i}{1 + i} \][/tex]
podemos desglosarlo en los siguientes pasos:
### a) Realiza las operaciones indicadas
1. Multiplicación de los complejos [tex]\( (4 - i)(1 + 2i) \)[/tex]:
Podemos realizar la multiplicación de los números complejos directamente:
[tex]\[ (4 - i)(1 + 2i) = 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2i - i \cdot 1 - i \cdot 2i \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ = 4 + 8i - i - 2i^2 \][/tex]
Recordando que [tex]\( i^2 = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ = 4 + 8i - i + 2 = 6 + 7i \][/tex]
Entonces, el resultado de [tex]\( (4 - i)(1 + 2i) \)[/tex] es [tex]\( 6 + 7i \)[/tex].
2. División de los complejos [tex]\(\frac{1 - i}{1 + i}\)[/tex]:
Para simplificar la expresión, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:
[tex]\[ \frac{1 - i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(1 - i)^2}{(1 + i)(1 - i)} \][/tex]
Calculemos el numerador y el denominador por separado:
- Numerador:
[tex]\[ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i \][/tex]
- Denominador:
[tex]\[ (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \frac{-2i}{2} = -i \][/tex]
Por lo tanto, el resultado de [tex]\( \frac{1 - i}{1 + i} \)[/tex] es [tex]\( -i \)[/tex].
3. Suma de los resultados obtenidos:
[tex]\( 6 + 7i \)[/tex] + [tex]\( -i \)[/tex] = [tex]\( 6 + 6i \)[/tex].
Así que [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex].
### b) Halle el módulo y el argumento de [tex]\( z \)[/tex]
1. Cálculo del módulo:
El módulo de un número complejo [tex]\(a + bi\)[/tex] se calcula como:
[tex]\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \][/tex]
Para [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex]:
[tex]\[ |z| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} = 8.48528137423857 \][/tex]
2. Cálculo del argumento:
El argumento de un número complejo [tex]\(a + bi\)[/tex] se calcula utilizando:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \][/tex]
Para [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex]:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{6}{6}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \approx 0.7853981633974483 \text{ radianes} \][/tex]
Convirtiendo a grados:
[tex]\[ \theta \times \left( \frac{180}{\pi} \right) = 0.7853981633974483 \times 57.29577951308232 \approx 45^\circ \][/tex]
Por lo tanto, la representación trigonométrica del número complejo [tex]\( z \)[/tex] es:
[tex]\[ z = 8.48528137423857 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \][/tex]
o en su forma en grados:
[tex]\[ z = 8.48528137423857 \left( \cos 45^\circ + i \sin 45^\circ \right) \][/tex]
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