Westonci.ca is the premier destination for reliable answers to your questions, brought to you by a community of experts. Connect with a community of experts ready to help you find accurate solutions to your questions quickly and efficiently. Get immediate and reliable solutions to your questions from a community of experienced professionals on our platform.
Sagot :
Para resolver el problema de hallar la representación trigonométrica del número complejo
[tex]\[ z = (4 - i)(1 + 2i) + \frac{1 - i}{1 + i} \][/tex]
podemos desglosarlo en los siguientes pasos:
### a) Realiza las operaciones indicadas
1. Multiplicación de los complejos [tex]\( (4 - i)(1 + 2i) \)[/tex]:
Podemos realizar la multiplicación de los números complejos directamente:
[tex]\[ (4 - i)(1 + 2i) = 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2i - i \cdot 1 - i \cdot 2i \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ = 4 + 8i - i - 2i^2 \][/tex]
Recordando que [tex]\( i^2 = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ = 4 + 8i - i + 2 = 6 + 7i \][/tex]
Entonces, el resultado de [tex]\( (4 - i)(1 + 2i) \)[/tex] es [tex]\( 6 + 7i \)[/tex].
2. División de los complejos [tex]\(\frac{1 - i}{1 + i}\)[/tex]:
Para simplificar la expresión, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:
[tex]\[ \frac{1 - i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(1 - i)^2}{(1 + i)(1 - i)} \][/tex]
Calculemos el numerador y el denominador por separado:
- Numerador:
[tex]\[ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i \][/tex]
- Denominador:
[tex]\[ (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \frac{-2i}{2} = -i \][/tex]
Por lo tanto, el resultado de [tex]\( \frac{1 - i}{1 + i} \)[/tex] es [tex]\( -i \)[/tex].
3. Suma de los resultados obtenidos:
[tex]\( 6 + 7i \)[/tex] + [tex]\( -i \)[/tex] = [tex]\( 6 + 6i \)[/tex].
Así que [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex].
### b) Halle el módulo y el argumento de [tex]\( z \)[/tex]
1. Cálculo del módulo:
El módulo de un número complejo [tex]\(a + bi\)[/tex] se calcula como:
[tex]\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \][/tex]
Para [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex]:
[tex]\[ |z| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} = 8.48528137423857 \][/tex]
2. Cálculo del argumento:
El argumento de un número complejo [tex]\(a + bi\)[/tex] se calcula utilizando:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \][/tex]
Para [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex]:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{6}{6}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \approx 0.7853981633974483 \text{ radianes} \][/tex]
Convirtiendo a grados:
[tex]\[ \theta \times \left( \frac{180}{\pi} \right) = 0.7853981633974483 \times 57.29577951308232 \approx 45^\circ \][/tex]
Por lo tanto, la representación trigonométrica del número complejo [tex]\( z \)[/tex] es:
[tex]\[ z = 8.48528137423857 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \][/tex]
o en su forma en grados:
[tex]\[ z = 8.48528137423857 \left( \cos 45^\circ + i \sin 45^\circ \right) \][/tex]
[tex]\[ z = (4 - i)(1 + 2i) + \frac{1 - i}{1 + i} \][/tex]
podemos desglosarlo en los siguientes pasos:
### a) Realiza las operaciones indicadas
1. Multiplicación de los complejos [tex]\( (4 - i)(1 + 2i) \)[/tex]:
Podemos realizar la multiplicación de los números complejos directamente:
[tex]\[ (4 - i)(1 + 2i) = 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2i - i \cdot 1 - i \cdot 2i \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ = 4 + 8i - i - 2i^2 \][/tex]
Recordando que [tex]\( i^2 = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ = 4 + 8i - i + 2 = 6 + 7i \][/tex]
Entonces, el resultado de [tex]\( (4 - i)(1 + 2i) \)[/tex] es [tex]\( 6 + 7i \)[/tex].
2. División de los complejos [tex]\(\frac{1 - i}{1 + i}\)[/tex]:
Para simplificar la expresión, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:
[tex]\[ \frac{1 - i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(1 - i)^2}{(1 + i)(1 - i)} \][/tex]
Calculemos el numerador y el denominador por separado:
- Numerador:
[tex]\[ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i \][/tex]
- Denominador:
[tex]\[ (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \frac{-2i}{2} = -i \][/tex]
Por lo tanto, el resultado de [tex]\( \frac{1 - i}{1 + i} \)[/tex] es [tex]\( -i \)[/tex].
3. Suma de los resultados obtenidos:
[tex]\( 6 + 7i \)[/tex] + [tex]\( -i \)[/tex] = [tex]\( 6 + 6i \)[/tex].
Así que [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex].
### b) Halle el módulo y el argumento de [tex]\( z \)[/tex]
1. Cálculo del módulo:
El módulo de un número complejo [tex]\(a + bi\)[/tex] se calcula como:
[tex]\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \][/tex]
Para [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex]:
[tex]\[ |z| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} = 8.48528137423857 \][/tex]
2. Cálculo del argumento:
El argumento de un número complejo [tex]\(a + bi\)[/tex] se calcula utilizando:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \][/tex]
Para [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex]:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{6}{6}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \approx 0.7853981633974483 \text{ radianes} \][/tex]
Convirtiendo a grados:
[tex]\[ \theta \times \left( \frac{180}{\pi} \right) = 0.7853981633974483 \times 57.29577951308232 \approx 45^\circ \][/tex]
Por lo tanto, la representación trigonométrica del número complejo [tex]\( z \)[/tex] es:
[tex]\[ z = 8.48528137423857 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \][/tex]
o en su forma en grados:
[tex]\[ z = 8.48528137423857 \left( \cos 45^\circ + i \sin 45^\circ \right) \][/tex]
Visit us again for up-to-date and reliable answers. We're always ready to assist you with your informational needs. We hope our answers were useful. Return anytime for more information and answers to any other questions you have. We're here to help at Westonci.ca. Keep visiting for the best answers to your questions.