Welcome to Westonci.ca, your go-to destination for finding answers to all your questions. Join our expert community today! Discover detailed answers to your questions from a wide network of experts on our comprehensive Q&A platform. Our platform provides a seamless experience for finding reliable answers from a network of experienced professionals.
Sagot :
Para resolver el problema de hallar la representación trigonométrica del número complejo
[tex]\[ z = (4 - i)(1 + 2i) + \frac{1 - i}{1 + i} \][/tex]
podemos desglosarlo en los siguientes pasos:
### a) Realiza las operaciones indicadas
1. Multiplicación de los complejos [tex]\( (4 - i)(1 + 2i) \)[/tex]:
Podemos realizar la multiplicación de los números complejos directamente:
[tex]\[ (4 - i)(1 + 2i) = 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2i - i \cdot 1 - i \cdot 2i \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ = 4 + 8i - i - 2i^2 \][/tex]
Recordando que [tex]\( i^2 = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ = 4 + 8i - i + 2 = 6 + 7i \][/tex]
Entonces, el resultado de [tex]\( (4 - i)(1 + 2i) \)[/tex] es [tex]\( 6 + 7i \)[/tex].
2. División de los complejos [tex]\(\frac{1 - i}{1 + i}\)[/tex]:
Para simplificar la expresión, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:
[tex]\[ \frac{1 - i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(1 - i)^2}{(1 + i)(1 - i)} \][/tex]
Calculemos el numerador y el denominador por separado:
- Numerador:
[tex]\[ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i \][/tex]
- Denominador:
[tex]\[ (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \frac{-2i}{2} = -i \][/tex]
Por lo tanto, el resultado de [tex]\( \frac{1 - i}{1 + i} \)[/tex] es [tex]\( -i \)[/tex].
3. Suma de los resultados obtenidos:
[tex]\( 6 + 7i \)[/tex] + [tex]\( -i \)[/tex] = [tex]\( 6 + 6i \)[/tex].
Así que [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex].
### b) Halle el módulo y el argumento de [tex]\( z \)[/tex]
1. Cálculo del módulo:
El módulo de un número complejo [tex]\(a + bi\)[/tex] se calcula como:
[tex]\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \][/tex]
Para [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex]:
[tex]\[ |z| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} = 8.48528137423857 \][/tex]
2. Cálculo del argumento:
El argumento de un número complejo [tex]\(a + bi\)[/tex] se calcula utilizando:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \][/tex]
Para [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex]:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{6}{6}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \approx 0.7853981633974483 \text{ radianes} \][/tex]
Convirtiendo a grados:
[tex]\[ \theta \times \left( \frac{180}{\pi} \right) = 0.7853981633974483 \times 57.29577951308232 \approx 45^\circ \][/tex]
Por lo tanto, la representación trigonométrica del número complejo [tex]\( z \)[/tex] es:
[tex]\[ z = 8.48528137423857 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \][/tex]
o en su forma en grados:
[tex]\[ z = 8.48528137423857 \left( \cos 45^\circ + i \sin 45^\circ \right) \][/tex]
[tex]\[ z = (4 - i)(1 + 2i) + \frac{1 - i}{1 + i} \][/tex]
podemos desglosarlo en los siguientes pasos:
### a) Realiza las operaciones indicadas
1. Multiplicación de los complejos [tex]\( (4 - i)(1 + 2i) \)[/tex]:
Podemos realizar la multiplicación de los números complejos directamente:
[tex]\[ (4 - i)(1 + 2i) = 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2i - i \cdot 1 - i \cdot 2i \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ = 4 + 8i - i - 2i^2 \][/tex]
Recordando que [tex]\( i^2 = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ = 4 + 8i - i + 2 = 6 + 7i \][/tex]
Entonces, el resultado de [tex]\( (4 - i)(1 + 2i) \)[/tex] es [tex]\( 6 + 7i \)[/tex].
2. División de los complejos [tex]\(\frac{1 - i}{1 + i}\)[/tex]:
Para simplificar la expresión, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:
[tex]\[ \frac{1 - i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(1 - i)^2}{(1 + i)(1 - i)} \][/tex]
Calculemos el numerador y el denominador por separado:
- Numerador:
[tex]\[ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i \][/tex]
- Denominador:
[tex]\[ (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \frac{-2i}{2} = -i \][/tex]
Por lo tanto, el resultado de [tex]\( \frac{1 - i}{1 + i} \)[/tex] es [tex]\( -i \)[/tex].
3. Suma de los resultados obtenidos:
[tex]\( 6 + 7i \)[/tex] + [tex]\( -i \)[/tex] = [tex]\( 6 + 6i \)[/tex].
Así que [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex].
### b) Halle el módulo y el argumento de [tex]\( z \)[/tex]
1. Cálculo del módulo:
El módulo de un número complejo [tex]\(a + bi\)[/tex] se calcula como:
[tex]\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \][/tex]
Para [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex]:
[tex]\[ |z| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} = 8.48528137423857 \][/tex]
2. Cálculo del argumento:
El argumento de un número complejo [tex]\(a + bi\)[/tex] se calcula utilizando:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \][/tex]
Para [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex]:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{6}{6}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \approx 0.7853981633974483 \text{ radianes} \][/tex]
Convirtiendo a grados:
[tex]\[ \theta \times \left( \frac{180}{\pi} \right) = 0.7853981633974483 \times 57.29577951308232 \approx 45^\circ \][/tex]
Por lo tanto, la representación trigonométrica del número complejo [tex]\( z \)[/tex] es:
[tex]\[ z = 8.48528137423857 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \][/tex]
o en su forma en grados:
[tex]\[ z = 8.48528137423857 \left( \cos 45^\circ + i \sin 45^\circ \right) \][/tex]
We appreciate your visit. Hopefully, the answers you found were beneficial. Don't hesitate to come back for more information. Your visit means a lot to us. Don't hesitate to return for more reliable answers to any questions you may have. Westonci.ca is your trusted source for answers. Visit us again to find more information on diverse topics.
