Vamos a resolver la ecuación para determinar los segundos que el cohete se mantiene en el aire. La altura [tex]\(h(t)\)[/tex] del cohete está dada por la función [tex]\(h(t) = 72t - G t^2\)[/tex], donde [tex]\(t\)[/tex] es el tiempo en segundos y [tex]\(G = 9.81 \, m/s^2\)[/tex] es la constante gravitacional en la Tierra.
Para encontrar el tiempo [tex]\(t\)[/tex] cuando el cohete vuelve a caer al suelo, necesitamos encontrar el valor de [tex]\(t\)[/tex] cuando [tex]\(h(t) = 0\)[/tex].
Entonces, planteamos la ecuación:
[tex]\[ 0 = 72t - 9.81t^2 \][/tex]
Factorizamos la ecuación:
[tex]\[ 0 = t(72 - 9.81t) \][/tex]
De la ecuación factorizada, tenemos dos soluciones posibles:
[tex]\[ t = 0 \quad \text{ó} \quad 72 - 9.81t = 0 \][/tex]
La primera solución, [tex]\(t = 0\)[/tex], corresponde al tiempo inicial antes del lanzamiento del cohete. Nos interesa la segunda solución para encontrar el tiempo cuando el cohete cae de vuelta al suelo.
Resolvemos para [tex]\(t\)[/tex] en la segunda ecuación:
[tex]\[ 72 - 9.81t = 0 \][/tex]
[tex]\[ 72 = 9.81t \][/tex]
[tex]\[ t = \frac{72}{9.81} \][/tex]
Realizando la división obtenemos:
[tex]\[ t \approx 7.34 \, \text{segundos} \][/tex]
Por lo tanto, el cohete se mantiene en el aire aproximadamente 7.34 segundos antes de volver a caer al suelo.
