Vamos a analizar cada afirmación una a una:
3. El dominio de la función definida por [tex]\( f(x) = \frac{3x}{x + 2} \)[/tex] es Dom [tex]\(f = \mathbb{R} - \{-2\} \)[/tex].
Para determinar el dominio de la función [tex]\( f(x) = \frac{3x}{x+2} \)[/tex], necesitamos encontrar los valores de [tex]\(x\)[/tex] para los cuales la función está definida. La única restricción para que una función racional esté definida es que el denominador no sea cero.
Observamos el denominador de la función:
[tex]\[ x + 2 = 0 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x = -2 \][/tex]
Esto nos indica que la función [tex]\( f(x) \)[/tex] no está definida cuando [tex]\( x = -2 \)[/tex]. Por tanto, el dominio de la función es todos los números reales excepto [tex]\( x = -2 \)[/tex].
[tex]\[ \text{Dom } f = \mathbb{R} - \{-2\} \][/tex]
Por lo tanto, la afirmación es verdadera.
5. El rango de la función [tex]\( h(x) = \frac{4}{x^2} \)[/tex] es [tex]\( \left]-\infty, 0\right] \)[/tex].
Para determinar el rango de la función [tex]\( h(x) = \frac{4}{x^2} \)[/tex], analizamos el comportamiento de la función.
El término [tex]\( x^2 \)[/tex] es positivo para cualquier valor de [tex]\( x \)[/tex] distinto de cero, y por tanto, [tex]\( \frac{4}{x^2} \)[/tex] será positivo ya que es una división de un número positivo por otro número positivo. De esta manera, [tex]\( h(x) \)[/tex] siempre es positivo.
[tex]\[ h(x) > 0 \text{ para todo } x \neq 0 \][/tex]
Dado que el rango de la función debe incluir sólo valores positivos y [tex]\( h(x) \)[/tex] nunca tomará valores negativos ni cero, concluimos que el rango de la función [tex]\( h(x) = \frac{4}{x^2} \)[/tex] no incluye ningún valor en el intervalo [tex]\( \left]-\infty, 0\right] \)[/tex], sino que es [tex]\( \left]0, \infty\right[ \)[/tex].
Por lo tanto, la afirmación es falsa.
6. Las funciones con raíz cuadrada tienen con rango todos los números reales.
Consideremos una función con raíz cuadrada, por ejemplo [tex]\( g(x) = \sqrt{x} \)[/tex]. Sabemos que la función raíz cuadrada sólo está definida para [tex]\( x \geq 0 \)[/tex] y los valores que puede tomar [tex]\( g(x) \)[/tex] son también no negativos porque la raíz cuadrada de un número no negativo es también no negativa.
Entonces, el rango de cualquier función con raíz cuadrada simplemente no puede incluir números negativos ya que la raíz cuadrada de un número nunca es negativa.
Por lo tanto, la afirmación es falsa.
