Claro, vamos a completar el trinomio cuadrado perfecto para cada una de las expresiones dadas.
### a) [tex]\( x^2 + x + 1 \)[/tex]
Primero, recordemos que un trinomio cuadrado perfecto es de la forma [tex]\( (ax + b)^2 = a^2 x^2 + 2abx + b^2 \)[/tex].
Para [tex]\( x^2 + x + 1 \)[/tex]:
1. Identificamos los coeficientes:
- El coeficiente del término [tex]\( x^2 \)[/tex] es 1.
- El coeficiente del término [tex]\( x \)[/tex] es 1.
- El término independiente es 1.
2. Dividimos el coeficiente del término [tex]\( x \)[/tex] entre 2 y lo elevamos al cuadrado:
- [tex]\((1/2)^2 = 1/4\)[/tex].
3. Descomponemos la expresión original de modo que podamos formar el trinomio cuadrado perfecto:
- [tex]\( x^2 + x + 1 \)[/tex] puede ser reescrito como:
[tex]\( x^2 + x + (1/4) - (1/4) + 1 \)[/tex].
4. Formamos el cuadrado perfecto y restamos la parte añadida:
- [tex]\( (x + 1/2)^2 - 1/4 + 1 \)[/tex].
5. Simplificamos:
- [tex]\( (x + 1/2)^2 + 3/4 \)[/tex].
Entonces, la expresión [tex]\( x^2 + x + 1 \)[/tex] se puede reescribir como:
[tex]\[ (x + 1/2)^2 + 3/4 \][/tex]
### b) [tex]\( 2x^2 - 12x + 11 \)[/tex]
Para esta expresión, también completaremos el trinomio cuadrado perfecto:
1. Primero, factoramos el coeficiente del término [tex]\( x^2 \)[/tex] (2) fuera de los dos primeros términos:
[tex]\[ 2(x^2 - 6x) + 11 \][/tex]
2. Completamos el cuadrado dentro del paréntesis:
- Dividimos el coeficiente del término [tex]\( x \)[/tex] dentro del paréntesis (que es -6) por 2 y lo elevamos al cuadrado:
[tex]\[ \left(-6/2\right)^2 = 9 \][/tex]
3. Añadimos y restamos este valor dentro del paréntesis:
[tex]\[ 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 11 \][/tex]
4. Ahora, separamos y combinamos términos para formar un cuadrado perfecto:
- [tex]\( x^2 - 6x + 9 \)[/tex] se convierte en [tex]\( (x - 3)^2 \)[/tex].
- Entonces tenemos:
[tex]\[ 2((x - 3)^2 - 9) + 11 \][/tex]
5. Distribuimos y simplificamos la expresión:
[tex]\[ 2(x - 3)^2 - 18 + 11 \][/tex]
[tex]\[ 2(x - 3)^2 - 7 \][/tex]
Entonces, la expresión [tex]\( 2x^2 - 12x + 11 \)[/tex] se puede reescribir como:
[tex]\[ 2(x - 3)^2 - 7 \][/tex]
Esta es la forma completa de los trinomios cuadráticos perfectos para ambas expresiones dadas.
