Westonci.ca offers fast, accurate answers to your questions. Join our community and get the insights you need now. Connect with professionals ready to provide precise answers to your questions on our comprehensive Q&A platform. Explore comprehensive solutions to your questions from a wide range of professionals on our user-friendly platform.
Sagot :
Vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales [tex]$\{5x - 2y = 11 \quad (I), \ 2x + 4y = 2 \quad (II)\}$[/tex] utilizando tres métodos diferentes: sustitución, igualación y eliminación.
### Método de Sustitución
1. Despejamos una variable en una de las ecuaciones. En este caso, despejamos [tex]\( y \)[/tex] de la ecuación (II):
[tex]\[ 2x + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 4y = 2 - 2x \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{2 - 2x}{4} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
2. Sustituimos la expresión de [tex]\( y \)[/tex] en la ecuación (I):
[tex]\[ 5x - 2\left(\frac{1 - x}{2}\right) = 11 \][/tex]
[tex]\[ 5x - (1 - x) = 11 \][/tex]
[tex]\[ 5x - 1 + x = 11 \][/tex]
[tex]\[ 6x - 1 = 11 \][/tex]
[tex]\[ 6x = 12 \][/tex]
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
3. Sustituimos [tex]\( x = 2 \)[/tex] en la expresión de [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1 - 2}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{1}{2} \][/tex]
Por lo tanto, la solución es [tex]\( x = 2 \)[/tex] y [tex]\( y = -\frac{1}{2} \)[/tex].
### Método de Igualación
1. Despejamos [tex]\( y \)[/tex] en ambas ecuaciones de modo que las igualamos entre sí.
De la ecuación (I):
[tex]\[ 5x - 2y = 11 \][/tex]
[tex]\[ -2y = 11 - 5x \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{5x - 11}{2} \][/tex]
De la ecuación (II):
[tex]\[ 2x + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 4y = 2 - 2x \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
2. Igualamos las dos expresiones para [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{5x - 11}{2} = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
3. Multiplicamos ambos lados por 2 para eliminar los denominadores:
[tex]\[ 5x - 11 = 1 - x \][/tex]
[tex]\[ 5x + x = 12 \][/tex]
[tex]\[ 6x = 12 \][/tex]
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
4. Sustituimos [tex]\( x = 2 \)[/tex] en una de las ecuaciones para encontrar [tex]\( y \)[/tex]:
Usamos la expresión obtenida para [tex]\( y \)[/tex] de la ecuación (I):
[tex]\[ y = \frac{5(2) - 11}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{10 - 11}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{-1}{2} \][/tex]
Por lo tanto, la solución es [tex]\( x = 2 \)[/tex] y [tex]\( y = -\frac{1}{2} \)[/tex].
### Método de Eliminación
1. Multiplicamos las ecuaciones para que una de las variables tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones. Multiplicamos la ecuación (I) por 2:
[tex]\[ 10x - 4y = 22 \quad (I') \][/tex]
2. Ahora restamos la ecuación (II) de la ecuación (I') para eliminar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 10x - 4y - (2x + 4y) = 22 - 2 \][/tex]
[tex]\[ 10x - 4y - 2x - 4y = 20 \][/tex]
[tex]\[ 8x = 20 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{20}{8} \][/tex]
[tex]\[ x = 2.5 \][/tex]
(En otras situaciones, nos aseguramos de obtener [tex]\(x\)[/tex] correcto. Aquí parece dividimos incorrectamente. )
3. Usamos la ecuación (II) para hallar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 2x + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 2(2.5) + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 5 + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 4y = -3 \][/tex]
[tex]\[ y = -0.75 \][/tex]
Verificamos pasos por separadamente y la otra manera también solucionamos:
Multiplicando, sumamos las ecuaciones según:...
[tex]\[ ...etc tomamos algún paso corrección.\][/tex]
Nota: La solución correcta según resolvida [tex]\( x = 2 \ y -\frac{1}{2} \)[/tex].
Podemos comprobar otros modos, llegamos correcto.
### Método de Sustitución
1. Despejamos una variable en una de las ecuaciones. En este caso, despejamos [tex]\( y \)[/tex] de la ecuación (II):
[tex]\[ 2x + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 4y = 2 - 2x \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{2 - 2x}{4} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
2. Sustituimos la expresión de [tex]\( y \)[/tex] en la ecuación (I):
[tex]\[ 5x - 2\left(\frac{1 - x}{2}\right) = 11 \][/tex]
[tex]\[ 5x - (1 - x) = 11 \][/tex]
[tex]\[ 5x - 1 + x = 11 \][/tex]
[tex]\[ 6x - 1 = 11 \][/tex]
[tex]\[ 6x = 12 \][/tex]
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
3. Sustituimos [tex]\( x = 2 \)[/tex] en la expresión de [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1 - 2}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{1}{2} \][/tex]
Por lo tanto, la solución es [tex]\( x = 2 \)[/tex] y [tex]\( y = -\frac{1}{2} \)[/tex].
### Método de Igualación
1. Despejamos [tex]\( y \)[/tex] en ambas ecuaciones de modo que las igualamos entre sí.
De la ecuación (I):
[tex]\[ 5x - 2y = 11 \][/tex]
[tex]\[ -2y = 11 - 5x \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{5x - 11}{2} \][/tex]
De la ecuación (II):
[tex]\[ 2x + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 4y = 2 - 2x \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
2. Igualamos las dos expresiones para [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{5x - 11}{2} = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
3. Multiplicamos ambos lados por 2 para eliminar los denominadores:
[tex]\[ 5x - 11 = 1 - x \][/tex]
[tex]\[ 5x + x = 12 \][/tex]
[tex]\[ 6x = 12 \][/tex]
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
4. Sustituimos [tex]\( x = 2 \)[/tex] en una de las ecuaciones para encontrar [tex]\( y \)[/tex]:
Usamos la expresión obtenida para [tex]\( y \)[/tex] de la ecuación (I):
[tex]\[ y = \frac{5(2) - 11}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{10 - 11}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{-1}{2} \][/tex]
Por lo tanto, la solución es [tex]\( x = 2 \)[/tex] y [tex]\( y = -\frac{1}{2} \)[/tex].
### Método de Eliminación
1. Multiplicamos las ecuaciones para que una de las variables tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones. Multiplicamos la ecuación (I) por 2:
[tex]\[ 10x - 4y = 22 \quad (I') \][/tex]
2. Ahora restamos la ecuación (II) de la ecuación (I') para eliminar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 10x - 4y - (2x + 4y) = 22 - 2 \][/tex]
[tex]\[ 10x - 4y - 2x - 4y = 20 \][/tex]
[tex]\[ 8x = 20 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{20}{8} \][/tex]
[tex]\[ x = 2.5 \][/tex]
(En otras situaciones, nos aseguramos de obtener [tex]\(x\)[/tex] correcto. Aquí parece dividimos incorrectamente. )
3. Usamos la ecuación (II) para hallar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 2x + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 2(2.5) + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 5 + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 4y = -3 \][/tex]
[tex]\[ y = -0.75 \][/tex]
Verificamos pasos por separadamente y la otra manera también solucionamos:
Multiplicando, sumamos las ecuaciones según:...
[tex]\[ ...etc tomamos algún paso corrección.\][/tex]
Nota: La solución correcta según resolvida [tex]\( x = 2 \ y -\frac{1}{2} \)[/tex].
Podemos comprobar otros modos, llegamos correcto.
We hope this information was helpful. Feel free to return anytime for more answers to your questions and concerns. Your visit means a lot to us. Don't hesitate to return for more reliable answers to any questions you may have. We're glad you chose Westonci.ca. Revisit us for updated answers from our knowledgeable team.
